Feynmann 7

Но перед нами все еще стоит такая проблема: чему равен средний квадратичный радиус 2>_ср? Классическая механика не может дать нам ответа. Мы должны вернуться назад и, во­оружившись квантовой механикой, начать все снова. Мы не можем знать, где именно находится электрон в атоме, а знаем лишь, что имеется вероятность его обнаружить в некотором месте. Если мы будем интерпретировать 2>_ср как среднее значение квадрата расстояния от центра для данной вероят­ности распределения, то диамагнитный момент, даваемый квантовой механикой, определяется тем же самым выражением (34.17). Оно, разумеется, дает нам момент одного электрона. Полный же момент будет суммой по всем электронам в атоме. Удивительно, что и классические рассуждения и квантовая механика дают тот же ответ, хотя, как мы увидим дальше, «классические» рассуждения, которые приводят к (34.17), на самом деле несостоятельны в рамках самой классической ме­ханики.

Такой же диамагнитный эффект будет наблюдаться даже у атомов с постоянным магнитным моментом. При этом система тоже будет прецессировать в магнитном поле. Во время прецес­сии атома в целом он набирает небольшую дополнительную угловую скорость, а подобное медленное вращение приводит к маленькому току, который дает поправку к магнитному моменту. Это тот же диамагнитный эффект, но поданный по-другому. Однако на самом деле, когда мы говорим о парамагнетизме, нам не нужно заботиться об этой добавке. Если мы сначала подсчи­тали диамагнитный эффект, как это было сделано здесь, нас не должен беспокоить небольшой дополнительный ток, про­исходящий из-за прецессии. Он уже включен нами в диамаг­нитный член.

§ 5. Теорема Лармора

Теперь уже из наших результатов можно сделать кое-какие заключения. Прежде всего в классической теории момент m всегда пропорционален J, причем для каждого вида атомов со своей константой пропорциональности. В классической теории у электрона нет никакого спина и константа пропорционально­сти всегда равна -q_e/2m, иначе говоря, мы должны в (34.6) положить g=1. Отношение m к J не зависело от внутреннего движения электронов. Таким образом, в соответствии с класси­ческой теорией все системы электронов должны были прецессировать с одной и той же угловой скоростью. (В квантовой механике это неверно.) Этот результат связан с одной теоремой классической механики, которую мне бы хотелось сейчас дока­зать. Предположим, что имеется группа электронов, которые удерживаются вместе притяжением к центральной точке, по­добно электронам, притягиваемым ядром. Эти электроны будут также взаимодействовать друг с другом, и движение их, вообще говоря, довольно сложно. Пусть вы нашли их движение в отсутствие магнитного поля и хотите знать, каково будет движение в слабом магнитном поле. Теорема утверждает, что движение в слабом магнитном поле всегда будет таким же, как и движение без поля с добавочным вращением относительно оси поля с угловой скоростью w_L=q_eB/2m. (Это то же самое, что и w_p при g=1.) Разумеется, возможных движений может быть много. Все дело в том, что каждому движению без магнитного поля соответствует движение в поле, которое состоит из пер­воначального движения плюс равномерное вращение. Это и есть теорема Лармора, а частота w_L называется ларморовой частотой.

Мне бы хотелось показать вам, как можно доказать эту теорему, но детали доказательства я предоставлю вам самим.

Возьмем сначала электрон в центральном силовом поле. На него просто действует направленная к центру сила F(r). Если теперь включить однородное магнитное поле, то появится до­полнительная сила qvXВ, так что полная сила будет равна

F(r)+qvXB. (34.18)