Feynmann 9

В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в х_n, равна С_n, то вероятность найти его там будет |С_n|². Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех х_n одна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, кото­рое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями k и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при t=0, амплитуда С_n вследствие интерференции раз­личных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн раз­ной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число k₀, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к k₀.

В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными k будут представлять состояния со слегка различ­ными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного С_n поэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы ви­дели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где |С(x_n)|² наи­большие] с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта груп­повая скорость связана с зависимостью k от частоты формулой

все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для кото­рого С_n меняется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного «кристалла» с быстротой v, рапной dw/dk, где w=E/h.

Фиг. 11.5. Вещественная часть С(х_n) как функция х для суперпозиции нескольких состояний с близкими энергиями.

Подстав­ляя (11.16) вместо Е, получаем

Иными словами, электроны движутся по кристаллу с быстротой, пропорциональной самому характерному k. Тогда, согласно (11.16), энергия такого электрона пропорциональна квадрату его скорости, он ведет себя подобно классической частице. Пока мы рассматриваем все в столь крупном масштабе, что никаких тонкостей строения разглядеть не можем, наша квантовомеханическая картина приводит к тем же результатам, что и клас­сическая физика.

В самом деле, если из (11.18) найти k и подставить его в (11.16), то получится

где m_эфф — постоянная. Избыточная «энергия движения» элект­рона в пакете зависит от скорости в точности так же, как и у классической частицы. Постоянная m_эфф, именуемая «эффектив­ной массой», дается выражением

Заметьте еще, что можно написать

Если мы решим назвать m_эффv «импульсом», то этот импульс будет связан с волновым числом k так же, как и у свободной частицы.

Не забывайте, что m_эфф ничего общего не имеет с реальной массой электрона. Она может быть совсем другой, хотя следует сказать, что в реальных кристаллах часто случается, что ее порядок величины оказывается примерно таким же (в 2 или, скажем, в 20 раз больше, чем масса электрона в пустом про­странстве).

Мы только что с вами раскрыли поразительную тайну — как это электрон в кристалле (например, пущенный в германий добавочный электрон) может пронестись через весь кристалл, может лететь по нему совершенно свободно, даже если ему при­ходится сталкиваться со всеми атомами. Это получается оттого, что его амплитуды, перетекая с одного атома на другой, прокладывают ему путь через кристалл. Вот отчего твердое тело может проводить электричество.

§ 4. Электрон в трехмерной решетке

Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Резуль­таты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоуголь­ная решетка атомов с расстояниями а, b, с в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что ам­плитуда прыжка к соседу в направлении х есть iA_x/h; ампли­туда прыжка в направлении у есть iA_y/h, а амплитуда прыжка в направлении z есть iA_z/h. Как же описать базисные состоя­ния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние — это когда электрон находится близ атома с координатами х, у, z, где (х, у, z) — одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на

х=n_ха, y=n_yb и z=n_zс,