— Вместе с тем еще в античности была высказана глубокая мысль, что природа в принципе проста. Эта мысль стала со временем одним из фундаментальных принципов познания действительности.
Вместе с тем наблюдательная астрономия обнаружила к тому времени следующее. Хотя птолемеевская модель мира обладала возможностями сколь угодно точного описания любой траектории, для этого было необходимо постоянно изменять количество эпициклов (сегодня — одно количество, завтра — другое). Но в таком случае получалось, что планеты вовсе и не двигаются по эпициклам. Получается, что эпициклы не отражают реальных движений планет, а являются просто математическим приемом описания этого движения.
Кроме того, по системе же Птолемея получалось, что для описания траектории одной планеты надо вводить огромное число эпициклов. Усложненная астрономия плохо выполняла свои практические функции. В частности, было очень трудно вычислить даты религиозных праздников. Эта трудность настолько четко осознавалась в то время, что даже сам папа Римский счел необходимым произвести реформы в астрономии.
Н. Коперник увидел, что два фундаментальных мировоззренческих принципа его времени — принцип движения небесных тел по кругам и принцип простоты природы явно не реализуются в астрономии.
Решение этой фундаментальной проблемы и привело его к великому открытию.
Перейдем к анализу другого открытия — открытия неевклидовой геометрии. Попытаемся показать, что и здесь речь шла о фундаментальной проблеме. Рассматривая этот пример, мы выясним ряд других важных моментов истолкования фундаментальных открытий.
Создание неевклидовой геометрии обычно представляется в виде решения известной проблемы пятого постулата геометрии Евклида.
Эта проблема заключалась в следующем.
Основу всей геометрии, как это следовало из системы Евклида, представляли пять следующих постулатов:
1) через две точки можно провести прямую, и притом только одну;
2) любой отрезок может быть продолжен в любые стороны до бесконечности;
3) из любой точки как из центра можно провести окружность любого радиуса;
4) все прямые углы равны;
5) две прямые, пересеченные третьей, пересекутся с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов меньше 2d.
Уже во времена Евклида стало ясно, что пятый постулат слишком сложен по сравнению с другими исходными положениями его геометрии. Другие положения казались очевидными. Именно из-за их очевидности они рассматривались как постулаты, т.е. как то, что принимается без доказательств.
Вместе с тем еще Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. положение, значительно более простое, чем пятый постулат. Отсюда ясно то, почему к этому постулату всегда относились с подозрением и пытались представить его теоремой. И у самого Евклида геометрия строилась так, что сначала доказывались те положения, которые не опираются на пятый постулат, а потом уже этот постулат использовался для развертывания содержания геометрии.
Интересно то, что пятый постулат геометрии Евклида стремились доказать как теорему, сохраняя при этом убежденность в его истинности, буквально все крупные математики, вплоть до Н.И. Лобачевского, Ф. Гаусса и Я. Больяи, которые в конце концов и решили проблему. Их решение складывается из следующих моментов:
— пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой;
— можно построить новую геометрию, принимая все евклидовы постулаты, кроме пятого, который заменяется его отрицанием, т.е. например, утверждением, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное число прямых, параллельных данной;
В результате такой замены и была построена неевклидова геометрия.
Поставим теперь следующие вопросы.
— Можно ли считать, что только стремление доказать пятый постулат привело к созданию неевклидовых геометрий?
— Почему в течение двух тысячелетий ни у кого не возникало даже мысли о возможности построения неевклидовой геометрии?
Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к истории науки.
До Н. И. Лобачевского, Ф. Гаусса, Я. Больяи на евклидову геометрию смотрели как на идеал научного знания.
Этому идеалу поклонялись буквально все мыслители прошлого, считавшие, что геометрическое знание в изложении Евклида является совершенным. Оно представлялось образцом организации и доказательности знания.
У И.Канта, например, идея единственности геометрии была органической частью его философской системы. Он считал, что евклидово восприятие действительности является априорным. Оно есть свойство нашего сознания, и потому мы не можем воспринимать действительность иначе.
Вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом.
Он носил мировоззренческий характер, был включен в культуру.
Именно по геометрии судили о возможностях математики, об особенностях ее объектов, о стиле мышления математиков и даже о возможностях человека иметь точное, доказательное знание вообще.
Откуда же тогда возникла сама идея возможности различных геометрий?