Философия и методология науки

Проблема пятого постулата существует, однако, уже два тысячелетия. И до сих пор у нее нет решения.

Может быть, эта проблема устанавливает некий эталон для истолкования современного состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще?

Может быть, тогда математика — это вовсе и не точное знание?

В свете таких вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной проблемой геометрии.

Она превратилась в фундаментальную проблему математики.

Этот анализ дает нам еще одно подтверждение той идеи, что фундаментальные открытия суть решения фундаментальных проблем.

Он показывает также, что фундаментальными проблемы становятся в рамках культуры, иначе говоря, фундаментальность исторически обусловлена.

Но в рамках культуры не только формируются фундаментальные проблемы, в них, как правило, подготавливаются и многие компоненты их решения. Отсюда становится ясным, почему такие проблемы решаются именно в данный момент, а не в какое-либо иное время.

Рассмотрим опять же в этой связи процесс создания неевклидовой геометрии. Обратим внимание на следующие интересные фрагменты истории исследований в этой области.

Доказательства пятого постулата Евклида проводились на протяжении двух тысячелетий, но при этом они считались задачей второго рода, т.е. постулат представлялся теоремой евклидовой геометрии. Это была задача с четко фиксируемым фундаментом для ее разрешения.

Однако во второй половине XVIII в. появляются исследования, в которых высказывается мысль о неразрешимости данной проблемы. В 1762 г. Клюгель, публикуя обзор исследований этой проблемы, приходит к выводу, что Евклид был, по-видимому, прав, считая пятый постулат именно постулатом.

Независимо от того, как относился к своему выводу Клюгель, его вывод был очень серьезным, так как провоцировал следующий вопрос: если пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой, то что же такое постулат? Ведь постулатом считалось положение очевидное, а потому не требующее доказательства.

Но подобный вопрос уже не являлся вопросом второго рода.

Он представлял уже метавопрос, т.е. выводил мысль на философско-методологический уровень.

Итак, проблема пятого постулата геометрии Евклида начинала порождать совсем особый род размышлений.

Перевод этой проблемы на метауровень придал ей мировоззренческое звучание.

Она перестала быть проблемой второго рода.

Другой исторический момент. Весьма любопытными представляются исследования, проводившиеся во второй половине XVIII в. И.Ламбертом и Дж.Саккери. Об этих исследованиях знал И.Кант, который не случайно говорил о гипотетическом статусе геометрических положений. Если вещи-в-себе характеризуются геометрически, то почему бы им, ставил вопрос И.Кант, не подчиняться какой-либо иной геометрии, отличной от евклидовой?

Ход рассуждений И.Канта был навеян идеями абстрактной возможности неевклидовых геометрий, которые высказывались И.Ламбертом и Дж.Саккери.

Дж.Саккери, пытаясь доказать пятый постулат геометрии Евклида в качестве теоремы, т.е. смотря на него как на проблему ординарную, использовал способ доказательства, называемый «доказательством от противного».

Ход рассуждений Дж.Саккери был, вероятно, следующим. Если мы примем вместо пятого постулата утверждение ему противоположное, соединим его со всеми другими утверждениями евклидовой геометрии и, выводя следствия из такой системы исходных положений, придем к противоречию, то тем самым мы докажем истинность именно пятого постулата.

Схема этого рассуждения очень проста. Может быть либо А, либо не-А, и, если все остальные постулаты истинны и мы допускаем не-А, а получаем ложь, значит, истинно именно А.

Используя этот стандартный прием доказательства, Дж.Саккери стал развертывать систему следствий из своих предположений, стремясь обнаружить их противоречивость. Таким образом он вывел около 40 теорем неевклидовой геометрии, но противоречий не обнаружил.

Как же он оценил складывающуюся ситуацию? Считая пятый постулат геометрии Евклида теоремой (т.е.задачей второго рода), он просто заключил, что в его случае метод «доказательства от противного» не работает. Итак, смотря на эту проблему как на проблему второго рода, он, имея в руках новую геометрию, не смог правильно истолковать ситуацию.

Отсюда следуют два вывода.

— Во-первых, в определенном смысле новая геометрия появилась в культуре уже до того, как была открыта неевклидова геометрия.

— Во-вторых, именно верная оценка проблемы пятого постулата, т.е. трактовка ее как проблемы первого, а не второго рода, позволила Н.И.Лобачевскому, Ф.Гауссу и Я.Больяи прийти к решению проблемы и создать неевклидову геометрию. Надо было понять саму возможность создания таких геометрий.

Дж.Саккери допускал такую возможность лишь как логическую, сделав конструктивный шаг в решении проблемы евклидовского постулата в традиционном стиле. Но он вовсе не рассматривал ее всерьез считая, что неевклидовы геометрии невозможны, хотя и логически допустимы.