Философия и методология науки

Почему Н.И.Лобачевский и другие ученые смогли прийти к решению проблемы пятого постулата?

Обратим внимание на то обстоятельство, что время создания неевклидовых геометрий было кризисным с точки зрения решения проблемы пятого постулата Евклида. Хотя математики занимались этой проблемой в течение двух тысячелетий, у них при этом не возникало никаких стрессовых ситуаций по поводу того, что она так долго не решается. Они думали, видимо, так:

— геометрия Евклида — это великолепно построенное здание;

— правда, в ней имеется некоторая неясность, связанная с пятым постулатом, однако в конце концов, она будет устранена.

Проходили, однако, десятки, сотни, тысячи лет, а неясность не устранялась, но это никого особенно не волновало. По-видимому, логика здесь могла быть такая: в конце концов, истина одна, а ложных путей сколько угодно. Пока не удается найти правильное решение проблемы, но оно, несомненно, будет найдено. Утверждение, содержащееся в пятом постулате будет доказано и станет одной из теорем геометрии.

Но что же случилось в начале XIX в.?

Отношение к проблеме доказательства пятого постулата существенно меняется. Мы видим целый ряд прямых заявлений по поводу весьма неблагополучного положения в математике в связи с тем, что никак не удается доказать столь злополучный постулат.

Наиболее интересным и ярким свидетельством этого является письмо Ф.Больяи его сыну Я.Больяи, который стал одним из создателей неевклидовой геометрии.

«Молю тебя, — писал отец, — не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий; ты затратишь на это все время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии».

Почему такая реакция возникает только в начале XIX в.?

Прежде всего потому, что в это время проблема пятого постулата перестала быть частной, которую можно и не решать. В глазах Ф.Больяи она предстала как целый веер фундаментальных вопросов.

— Как вообще должна быть построена математика?

— Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях?

— Является ли она достоверным знанием?

— Является ли она вообще логически прочным знанием?

Такая постановка вопроса была обусловлена не только историей развития исследований, связанных с доказательством пятого постулата. Она определялась развитием математики в целом, в том числе ее использованием в самых различных сферах культуры.

Вплоть до XVII в. математика находилась в зачаточном состоянии. Наиболее разработанной была геометрия, были известны начала алгебры и тригонометрии. Но затем, начиная с XVII в., математика стала бурно развиваться и к началу XIX в. она представляла довольно сложную и развитую систему знаний.

— Прежде всего под влиянием потребностей механики были созданы дифференциальное и интегральное исчисления.

— Значительное развитие получила алгебра. В математику органично вошло понятие функции (активно использовалось большое количество различных функций во многих разделах физики).

— Сложилась в достаточно целостную систему теория вероятности.

— Сформировалась теория рядов.

Таким образом, математическое знание выросло не только количественно, но и качественно. Вместе с тем появилось большое число понятий, которые математики не умели истолковывать.

— Например, алгебра несла с собой определенное представление о числе. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной мере ее объектами. Но что такое отрицательные или мнимые числа, этого никто не знал вплоть до начала XIX в.

— Не было ясного ответа и на более общий вопрос — что вообще есть число?

— А что такое бесконечно малые величины?

— Как можно обосновать операции дифференцирования, интегрирования, суммирования рядов?

— Что представляет собой вероятность?

В начале XIX в. никто не мог ответить на эти вопросы.

Короче говоря, в математике к началу XIX в. сложилась в целом сложная ситуация.

— С одной стороны, эта область науки интенсивно развивалась и находила ценные приложения,

— с другой — она покоилась на очень неясных основаниях.

В такой ситуации по-другому была воспринята и проблема пятого постулата геометрии Евклида.

Трудности истолкования новых понятий можно было понять так: то, что неясно сегодня, станет ясным завтра, когда соответствующая область исследований получит достаточное развитие, когда будет сосредоточено достаточно интеллектуальных усилий для решения проблемы.