Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Движение пузырьков и турбулентность

Рассмотрим подробно уравнения, которые описывают движение пузырька при его восхождении. Будем считать пузырек сферой постоянного радиуса, что не совсем верно, однако приведет нас к достаточно точному результату. Итак, на пузырек действуют его вес (незначительный), сила Архимеда и сила сопротивления его движению.

Для сферического пузырька радиуса R сила Архимеда F_а равна:

F_А = (4/3) πρgR³,

где ρ и g – плотность воды и ускорение свободного падения соответственно.

Сила сопротивления F_с движению тела сферической формы в вязкой среде с небольшой скоростью определяется формулой Стокса:

F_С = –6πηRv,

где η – коэффициент вязкости воды и v – скорость пузырька.

При более высоких скоростях уже играет роль не вязкость, а сила лобового сопротивления движению сферы, и ее можно найти по формуле:

F_лс ≈ –πρR²v²/2.

Эти два выражения для силы сопротивления удобно связать между собой посредством так называемого числа Рейнольдса (безразмерной величины, очень полезной в механике жидкостей) Re = ρRv/η:

F_лс = (Re/12) F_С.

Для сферы диаметром 1 мм в воде число Re составляет порядка 200. Поэтому для оценки силы сопротивления мы используем формулу для силы лобового сопротивления, которая дает в достаточной мере точный результат.

Таким образом, действующая на пузырек результирующая сила F = F_А + F_лс. Второй закон Ньютона (см. главу 4, «Ньютоновская механика») позволяет получить уравнение движения объекта при условии, что известна его масса m: векторная сумма внешних сил, воздействующих на объект, равна его ускорению, умноженному на массу, то есть