Физика пространства - времени

⎛

⎜

⎝

𝑀₁-𝑀₂

𝑀₂

⎞

⎟

⎠

,

где β_выбр — скорость выброса относительно первоначальной системы ракеты. Так как 𝑀₂-𝑀₁=𝑑𝑀 — изменение массы ракеты, то

𝑑θ

=-

β

_выбр

𝑑𝑀

𝑀

,

где 𝑀 — масса ракеты в любой данный момент времени. Если мы рассмотрим теперь новую систему отсчёта («систему ракеты»), в которой ракета покоится, выброс следующей порции массы со скоростью β_выбр в этой системе приведёт к дальнейшему изменению параметра скорости на 𝑑θ. Однако, согласно уравнению (25), новое значение параметра скорости ракеты в первоначальной системе отсчёта равно просто сумме всех изменений параметра скорости (сами скорости не аддитивны, но параметры скорости аддитивны). К тому же массы покоя (и изменения массы покоя) инвариантны, одинаковы во всех системах отсчёта. Поэтому окончательное значение параметра скорости в первоначальной системе отсчёта может быть получено путём суммирования (интегрирования) приращений параметра скорости:

θ

∫

0

𝑑θ

=-

β

_выбр

𝑀

∫

𝑀₁

𝑑𝑀

𝑀

.

Интеграл справа равен натуральному логарифму, так что

θ

=

β

_выбр

⋅ln

𝑀₁

𝑀

(релятивистская ракета),

(108)

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

Величина параметра

скорости, достигнутая

после сжигания

любой данной

массы горючего

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Скорость

выброса

продуктов

сгорания

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

⋅ln

⎛

⎜

⎜

⎝

Начальная

масса покоя

ракеты

⎞

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎝

Конечная

масса покоя

ракеты

⎞

⎟

⎟

⎠

Это и есть уравнение движения релятивистской ракеты.

б) Нерелятивистской называется такая ракета, которая движется со скоростью, много меньшей скорости света. Покажите, что приведённое выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения нерелятивистской ракеты:

𝑣

=

𝑣

_выбр

⋅ln

𝑀₁

𝑀

(нерелятивистская ракета),

(109)

в) Покажите, исходя из основных законов сохранения, что масса покоя в случае релятивистской ракеты не сохраняется. Куда же она девается? Покажите, что масса покоя (приближённо) сохраняется в предельном случае нерелятивистской ракеты.

г) Покажите, что скорость релятивистской ракеты может приближаться сколь угодно близко к скорости света, но не превосходить её.

д) Рассмотрите частный случай, когда скорость выброса очень велика. Покажите, что при β_выбр, стремящейся к скорости света (т.е. при очень больших θ_выбр), необходимая для достижения данного значения параметра скорости ракеты выбрасываемая масса покоя стремится к нулю. Из этого следует что использование света для создания тяги ракеты соответствует полному переводу массы покоя топлива в энергию излучения; уравнение движения тогда принимает вид

θ

=

ln

𝑀₁

𝑀

⎛

⎜

⎝

для ракеты с

фотонными двигателями

⎞

⎟

⎠

(110)

е) Иногда высказывают следующее обобщающее заключение: «Наиболее экономична ракета с фотонной тягой». Покажите, что это утверждение и верно, и ошибочно одновременно. Обсуждение. Найдите «коэффициент полезного действия» для двигателей, тягу которых создают световые вспышки. Насколько экономично продолжать ускорять «шлак» (использованные элементы) вместе с полезным грузом? Существует ли хоть один тип взаимодействия элементарных частиц, при котором вообще не остаётся «шлака» и образуется лишь свет (т.е. гамма-лучи)? См. стр. 162 и упражнение 97.

ж) Чему равно наименьшее отношение масс (отношение начальной массы к конечной, когда горючее исчерпано) для идеальной ракеты, в которой масса полностью превращается в свет, при котором ракета ускоряется из состояния покоя до такой скорости, при которой течение времени замедляется в десять раз? Чему равно это отношение масс в случае наибольшей скорости выброса, достижимой в ракетах с химическими двигателями (около 4000 м/сек)? Замечание. В технической литературе часто говорится об «удельном импульсе» (обозначаемом через 𝐼) ракетного горючего; например, 𝐼=260 сек для керосина с жидким кислородом и 350 сек для жидкого водорода с жидким кислородом. Умножьте эти величины на 9,8 м/сек², чтобы перейти к физическим единицам (скорости выброса в м/сек или к импульсу в кг⋅м/сек, сообщаемому ракете каждым килограммом отработавшего топлива). Последний способ выражения через импульс в противоположность использованию единиц времени применим и на Луне, где 𝑔≈(1/6)*9,8 м/сек², и на Земле, где 𝑔=9,8 м/сек². ▼

59*. Парадокс центра масс

Пусть в системе отсчёта ракеты вдоль оси 𝑥 в состоянии покоя закреплена длинная труба. С двух противоположных концов в неё одновременно и с одинаковой скоростью (с точки зрения системы отсчёта ракеты) выстреливаются два одинаковых пушечных ядра. Эти ядра упруго сталкиваются в середине трубы и разлетаются вновь к её концам. До того как ядра достигают этих концов, их наглухо закрывают, и в дальнейшем ядра всё время движутся взад и вперёд в трубе без трения.

Рис. 99. Пушечные ядра, летящие навстречу друг другу.

а) Опишите движение центра масс этих двух ядер в системе отсчёта ракеты.