Физика пространства - времени

б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчёта. При этом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности?

в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра? ▼

60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса

а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара 𝐴 в верхнюю стенку проходит интервал времени Δ𝑡'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен Δ𝑡. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, Δ𝑡' и Δ𝑡. Найдите связь между значениями 𝑦-компоненты скорости шара 𝐴 в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за β скорость шара 𝐴 в системе отсчёта ракеты, покажите, что 𝑦-компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта β_𝐴^𝑦,_лаб определяется выражением

β

_𝐴

^𝑦

,

_лаб

=

β

ch θ_𝑟

.

 

Рис. 100. Компоненты скорости шаров 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта до столкновения.

б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара 𝐴 до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара 𝐴 до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар 𝐵 в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле 𝑚β. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара 𝐴 в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара 𝐵. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:

⎛

⎜

⎜

⎝

Горизонтальный

пунктирный отрезок

на диаграмме импульса

⎞

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎝

Вертикальный

пунктирный отрезок

на диаграмме импульса

⎞

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎝

Горизонтальный

пунктирный отрезок

на диаграмме скорости

⎞

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎝

Вертикальный

пунктирный отрезок

на диаграмме скорости

⎞

⎟

⎟

⎠

.

Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта.

Покажите, что отсюда следует выражение

𝑝

^𝑥



=

𝑚 sh θ

_𝑟



для 𝑥-компоненты импульса быстро движущегося шара 𝐴.

в) В пределе малых 𝑦-компонент скоростей величина 𝑝^𝑥 становится равной полному импульсу 𝑝 шара 𝐴, а параметр относительной скорости θ_𝑟 становится равным параметру θ шара 𝐴. Отсюда следует выражение для релятивистского импульса частицы

𝑝

=

𝑚 sh θ

.

▼

61*. Второй вывод релятивистского выражения для энергии

Рис. 102. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в ньютоновской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по ньютоновскому закону сложения скоростей.

а) Сохранение ньютоновского импульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (𝑚₁ и 𝑚₂). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2. Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчёта из ньютоновского закона сохранения импульса следует уравнение

𝑚₁β₁

+

𝑚₂β₂

=

𝑚₁

β

₁

+

𝑚₂

β

₂

,

в котором величина β₁ отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений движения. Чёрточки над буквами означают, что соответствующие величины взяты после соударения. Рассмотрим теперь этот же процесс в системе отсчёта ракеты. При малой относительной скорости движения ракеты β_𝑟 скорость каждой частицы в системе отсчёта ракеты находится путём простого вычитания β_𝑟 из скорости этой частицы в лабораторной системе отсчёта. Примените ньютоновский закон сохранения импульса к столкновению с точки зрения системы отсчёта ракеты. Покажите, что если ньютоновский импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта, он будет автоматически сохраняться и в системе отсчёта ракеты, движущейся с малой скоростью относительно лабораторной системы отсчёта.