Физика пространства - времени

I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой 𝑚₁ притягивает объект с массой 𝑚₂ (также малый либо сферически симметричный) с силой 𝐹=𝐺𝑚₁𝑚₂/𝑟². Здесь 𝑟 — расстояние между центрами этих объектов, а 𝐺 - ньютоновская гравитационная постоянная:

𝐺

=

6,67⋅10⁻¹¹

м

³

/

сек

²⋅

кг

=

6,67⋅10⁻⁸

см

³

/

сек

²⋅

г

.

II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки 𝑟 в точку 𝑟+𝑑𝑟 против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы 𝑚, равна

𝐺𝑚

=

𝑑𝑟

𝑟²

.

Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как

𝑑𝑊

=

𝐺𝑚

𝑐²

⋅

𝑑𝑟

𝑟²

=

𝑚*

⋅

𝑑𝑟

𝑟²

(117)

(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).

III. В этой формуле первый сомножитель, 𝑚*=𝐺𝑚/𝑐², имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (𝑚=5,983⋅10²⁴ кг) равна в единицах длины 𝑚_Земля*=4,44⋅10⁻³ м тогда как масса Солнца (𝑚=1,987⋅10³⁰ кг) равна 𝑚_Солнце*=1,47⋅10³ м.

IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии 𝑟 от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна

𝑊

=

𝑚*

𝑟

(118)

из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.

а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть

𝑔*

=

𝐺𝑚_З

𝑐²

⋅

1

𝑟_З²

=

𝑚_З*

𝑟_З²

есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус 𝑟_З), выраженное в м/м².

б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?

в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту 𝑧 в однородном гравитационном поле 𝑔*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией 𝐸=𝑇. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой ν состоит из фотонов энергии 𝐸=ℎν/𝑐² (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты:

Δν

ν

=-

𝑔*𝑧

(однородное гравитационное поле).

г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы 𝑀 (кг) или 𝑀* (м) и радиуса 𝑟. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой

Δν

ν

=-

𝑀*

𝑟

.

(119)

Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца. ▼

74*. Плотность спутника Сириуса

Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (𝑚≈2⋅10³⁰ кг, 𝑚*≈1,5⋅10³ м).

Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7⋅10⁻⁴ от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов. ▼

Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ

75. Формулы Допплера

Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости 𝑥𝑦 в направлении, образующем угол φ с осью 𝑥, так что он обладает компонентами импульса 𝑝^𝑥=𝑝 cos φ, 𝑝^𝑦=𝑝 sin φ и 𝑝^𝑧=0.