Физика пространства - времени

(𝑒 в CGSE; ℏ, 𝑚 и 𝑟 в системе CGS — г, см, сек), где 𝑍 — атомный номер ядра (число протонов в нем), 𝑚 — масса и 𝑒 — заряд электрона. Это формула радиуса орбит атома Бора. Покажите, что скорость электрона на орбите равна (в приближении малых скоростей)

β

=

α𝑍

𝑛

,

(127)

где

α

=

𝑒²

=

1

(4πε₀)

ℎ

⋅

𝑐

137

2π

— безразмерная постоянная, называемая постоянной тонкой структуры. [Эта формула верна, когда 𝑒 выражается в кулонах, 4πε₀=1,113⋅10⁻¹⁰ (кулон⋅сек)²/кг⋅м³, ℎ и 𝑐 — в кг, м, сек. Если её выразить в системе г, см, сек, причём 𝑒 взять в единицах CGSE, то α=𝑒²/ℏ𝑐=1/137). Полученное выражение для β использовалось в упражнении 41. ▼

102*. Ви'дение посредством электронов

Из общих принципов физической оптики следует невозможность получить изображение таких деталей объекта, которые меньше длины волны света, с помощью которого получают это изображение. Предположим, что это утверждение верно и в применении к волнам вещества, обсуждавшимся в предыдущем упражнении. Через какую разность потенциалов должны быть пропущены (ускорены) электроны, чтобы с их помощью было можно получить изображение бактерии (размером около 1 мк, т.е. 10⁻⁶ м) в электронном микроскопе? Какой энергией (в Мэв) должны обладать электроны, чтобы с их помощью можно было исследовать структуру протонов и нейтронов (диаметр которых равен около 1 ферми, т.е. 10⁻¹⁵ м)? ▼

103**. Прецессия Томаса

Рис. 126. Ньютоновская механика утверждает, что при обороте электрона вокруг ядра ориентация его спина не изменится.

Представьте себе электрон как отрицательно заряженный шарик, вращающийся вокруг своей оси, подобно гироскопу. Эта грубая классическая модель не соответствует действительности, но приемлема для некоторых целей, например для следующей. Ньютоновская механика предсказывает, что электрон в атоме должен вращаться по некоторой орбите вокруг ядра и сохранять при этом неизменным направление оси своего вращения относительно инерциальных систем отсчёта точно так же, как это происходит с гироскопом, перемещаемым по окружности.

Рис. 127. Теория относительности предсказывает прецессию оси вращения электрона на угол, обозначенный здесь через Δφ, за один оборот вокруг ядра.

Однако, как открыл в 1927 г. Л. X. Томас ¹), теория относительности удивительным образом утверждает, что если электрон вращается вокруг ядра, вектор его спина направлен по-разному после каждого оборота. Такая прецессия, названная прецессией Томаса, приводит к наблюдаемому эффекту в спектральных линиях излучения некоторых атомов. Объяснение этой прецессии связано с эффектом наклонного метрового стержня (упражнение 52) и основывается на относительности одновременности. Проанализируйте эффект прецессии Томаса для электрона по следующей схеме (или другим способом).

¹) L. H. Thomas, Philosophical Magazine, (7) 3, 1 (1927).

Рис. 128. Правильный многоугольник как приближённое описание ньютоновской круговой орбиты электрона в атоме.

Что заставляет ось вращения электрона принимать новое направление после того, как электрон опишет полный круг? Двигаясь по окружности, электрон испытывает ускорение, направленное к её центру. Но, к сожалению, частная теория относительности неспособна описывать действие ускорения на ориентацию векторов. Поэтому мы поступим так, как это часто делается в физике: если данная проблема не поддаётся непосредственному решению, следует найти более простую, но аналогичную ей задачу, решить которую мы сумеем! В данном случае приближённо представим круговой путь классического электрона как правильный многоугольник с 𝑛 сторонами. Для того чтобы совершить один полный оборот по орбите, электрон должен пройти теперь по ряду прямолинейных отрезков, испытав между ними 𝑛 резких изменений направления движения, каждый раз на угол α=2π/𝑛. План штурма задачи: исследовать, как изменится направление спина электрона при прохождении одного из таких углов [пункты от (а) до (в)]; затем устремить число сторон 𝑛 к бесконечности так, чтобы угол α, на который всякий раз меняется направление движения электрона, стремился к нулю, пока не получится в качестве предельного случая классическая круговая орбита [пункты от (г) до (д)].

Рис. 129. Частный случай изменения ориентации оси вращения электрона при изменении направления его движения.