Физика пространства - времени

в) Обозначим угловую скорость вращения прожектора через ω (в радианах в секунду). Условие того, что скорость поворота луча превышает 𝑐, имеет вид

ω𝑟

>

𝑐

или

𝑟

>

𝑐/ω

.

Указанное в условии предупреждение вовсе не передаётся от 𝐴 к 𝐵, совершенно так же, как оно не передавалось бы в случае, если будильники поставлены на очень близкие друг к другу моменты времени.

г) Да, скорость луча на экране может превышать скорость света, как и скорость вращения луча прожектора в части в) этого упражнения могла быть больше 𝑐. ▲

29. Синхронизация движущимися часами — подробный пример

Решение дано в тексте.

30. Конструкция часов и замедление их хода

В основе всех рассуждений лежит допущение, что невозможно определить абсолютную скорость движения инерциальной системы отсчёта исходя из вида физических законов, записанных в этой системе, и из входящих в них численных значений констант. Принцип работы любых реальных часов использует скорость протекания тех или иных физических процессов. Возьмём в одной инерциальной системе покоящиеся часы различных конструкций и сравним их ход; затем проделаем это для такого же набора часов, покоящихся в другой инерциальной системе. Если относительный ход часов разных конструкций будет меняться от одной инерциальной системы к другой, то это позволило бы найти абсолютное различие между разными инерциальными системами. Такое неодинаковое поведение разных физических процессов при переходах между системами отсчёта противоречило бы принципу относительности, и поэтому мы должны признать, что это невозможно. Взяв в исходной инерциальной системе часы, прокалиброванные в метрах светового времени, и осторожно ускорив их так, чтобы они в конце концов стали покоиться в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, мы (как следует предположить) получим в этой второй системе часы, правильно прокалиброванные в метрах светового времени. ▲

31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй

а) Путь по вертикали 𝑧, пройденный за время 𝑡_сек при свободном падении первоначально покоившейся частицей, находится из формулы

𝑧

=

1

2

𝑔𝑡

_сек

²

Здесь 𝑔≈10 м/сек² —«гравитационное ускорение» (ускорение силы тяжести) вблизи поверхности Земли. В нашем случае время падения лишь немного превышает 1 метр светового времени, т.е. около 3,3⋅10⁻⁹ сек. Отсюда

𝑧

≈

10

2

⋅

(3,3⋅10⁻⁹)²

≈

5⋅10⁻¹⁷

м

.

Это на два порядка меньше размеров атомного ядра! Итак, пространственно-временная область размерами (1 м × 1 м × 1 м пространстве) × 1 м во времени является инерциальной с точностью до 5⋅10⁻¹⁷ м. Пусть, например, пройденное при падении расстояние измеряется интерференционными методами при помощи видимого света. Тогда минимальное обнаружимое смещение при падении примерно равно длине световой волны — около 5000 Å (5⋅10⁻⁷ м). Чтобы частица при своём падении пролетела такой путь, требуется

⎛

⎜

⎝

(Путь)⋅2

𝑔

⎞½

⎟

⎠

=

3⋅10⁻⁴

сек

=

=

10⁵

м

светового времени.

За такой срок частица, летящая с околосветовой скоростью, прошла бы в искровой камере приблизительно 𝐿=10⁵ м =100 км!

б) За 22 м светового времени (т.е. 73⋅10⁻⁹ сек =73 нсек) частица пройдёт при падении из состояния покоя путь 𝑧, приблизительно равный

𝑧

=

10

2

⋅

(73⋅10⁻⁹)²

≈

2,5⋅10⁻¹⁴

м

,

что примерно втрое превышает диаметр нуклона. С такой точностью является инерциальной связанная с Землёй система отсчёта в опыте Майкельсона — Морли. ▲

32. Размеры инерциальной системы

a1) На рис. 46 являются подобными два треугольника с острым углом θ соответственно при вершинах в точке 𝐵 и в центре Земли. Меньшая сторона первого из них равна ε/2, а второго 25/2 м. Записывая формулу пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников, получим

ε/2

250 м

=

(25 м)/2

6,4⋅10⁶ м

,

откуда ε≈10⁻³ м, что и следовало доказать.

а2) Замените на рис. 46 пометку «25 м» на Δ𝑥, а 𝑟_𝑒 - на 𝑟. Пусть ускорение, действующее по направлению от точки 𝐵 к центру Земли, равно 𝑎*. Тогда проекция этого ускорения на ось 𝑥, параллельную поверхности Земли, составляет 𝑎* sin θ. Относительное ускорение (Δ𝑎^𝑥)* двух частиц (первая падает из точки 𝐵, а вторая - из 𝐴) вдвое превышает эту величину и имеет обратный ей знак:

(

Δ

𝑎

^𝑥

)*

=-

2𝑎*

sin θ

.

Из правого треугольника, острый угол θ которого помещён в центре Земли, найдём

sin θ

=

Δ𝑥

2𝑟

,

так что окончательно

(

Δ

𝑎

^𝑥

)*

=-

2𝑎*

Δ𝑥

2𝑟

=-

Δ𝑥

𝑟

𝑎*

,

что и требовалось получить.

б1) Воспользуемся данным в тексте советом; тогда

𝑎*

⎪

⎪𝑟

=

const

𝑟²

;

𝑎*

⎪

⎪𝑟+Δ𝑧

=

const

(𝑟+Δ𝑧)²

=

const

𝑟²

⎛

⎜

⎝

1+

Δ𝑧

𝑟

⎞⁻²

⎟

⎠

=

=

const

𝑟²

⎡

⎢

⎣

1-2

Δ𝑧

𝑟

+3

⎛

⎜

⎝

Δ𝑧

𝑟

⎞²

⎟

⎠

-

…

⎤

⎥

⎦

,

где взята формула бинома Ньютона. Учтём, что Δ𝑧 много меньше, чем 𝑟, и пренебрежём поэтому всеми членами разложения, за исключением первых двух. Вычитая теперь величину 𝑎* в точке 𝑟 из 𝑎* в точке 𝑟+Δ𝑧, получим

Δ

𝑎*

≈-

2

𝑎*

𝑟

Δ

𝑧

.