Физика пространства - времени

Обозначим через Δ𝑥' проекцию метрового стержня на ось 𝑥' в системе отсчёта ракеты, а через Δ𝑦' — аналогичную проекцию на ось 𝑦'. Значит, тангенс угла φ' равен tg φ'=Δ𝑥'/Δ𝑦'. В лабораторной системе отсчёта 𝑦-проекция будет оставаться равной прежней 𝑦-проекции в системе ракеты, но 𝑥проекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы получим

Δ

𝑦

=

Δ

𝑦'

,

где

Δ

𝑦

=

(1

м

)

sin φ'

,

и

Δ

𝑥

=

Δ

𝑥'

√

1-β

_𝑟

²

,

где

Δ

𝑥'

=

(1

м

)

cos φ'

,

Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчёта

tg φ

=

Δ𝑦

Δ𝑥

=

tg φ'

√1-β_𝑟²

.

Длина метрового стержня, измеренная в лабораторной системе отсчёта, равна

𝐿

=

√

(

Δ

𝑥)²+(

Δ

𝑦)²

.

Подставляя сюда полученные выше значения Δ𝑥 и Δ𝑦, найдём

𝐿

=

√

1-β

_𝑟

²



cos²φ'

м

.

Рис. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в системе отсчёта ракеты.

Рис. 143. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчёта.

Мысленно заменяя электрические силовые линии метровыми стержнями, можно выяснить, как выглядит электрическое поле вблизи заряженной частицы, покоящейся в системе отсчёта ракеты (на рис. 142 изображена картина, наблюдаемая в системе ракеты, а на рис. 143 — картина, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта). Мы считаем, что электрическая сила, действующая на пробный заряд, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, пропорциональна плотности электрических силовых линий в том месте, где он находится. Следовательно, на пробные заряды, расположенные вдоль пути движения быстрой заряженной частицы (например, в точке 𝐴 на рис. 143), будет действовать сила, меньшая, чем если бы частица покоилась. В свою очередь на пробные заряды, расположенные в стороне от пути движения быстрой заряженной частицы, будет действовать в момент их наибольшего сближения (например, в точке 𝐵 на рис. 143) сила, превышающая ту, которая действовала бы, если бы частица — источник поля — покоилась. На этом и на подобных ему релятивистских эффектах основывается анализ электрического и магнитного полей в превосходной книге Парселла, выпущенной в издательстве Мак-Гроу Хилл. ▲

20. Преобразование скорости вдоль оси 𝑦

Из условия задачи мы знаем, что для любой пары событий на мировой линии частицы Δ𝑥'=0. Тогда из формул преобразования Лоренца

Δ

𝑦

=

Δ

𝑦'

,

Δ

𝑥

=

Δ

𝑡'

sh



θ

_𝑟

,

Δ

𝑡

=

Δ

𝑡'

ch



θ

_𝑟

,

откуда можно вычислить компоненты скорости в лабораторной системе отсчёта:

β

^𝑦

=

Δ𝑦

Δ𝑡

=

Δ𝑦'

Δ𝑡' ch θ_𝑟

=

β^𝑦'

ch θ_𝑟

,

β

^𝑥

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

th



θ

_𝑟

.

▲

21. Преобразование направлений скоростей

В системе отсчёта ракеты разности координат даются соотношениями

Δ

𝑦'

=

β'



sin φ'

⋅

Δ

𝑡'

и

Δ

𝑥'

=

β'



cos φ'

⋅

Δ

𝑡'

.

Найдём значения смещений Δ𝑦 и Δ𝑥 в лабораторной системе отсчёта, пользуясь формулами преобразования Лоренца (42), откуда угол между вектором скорости частицы и направлением относительного движения в лабораторной системе отсчёта оказывается равен

β'

sin



φ'

tg φ

=

Δ

𝑦

=

ch θ

_𝑟

.

Δ

𝑥

β' cos φ'+β

_𝑟

Отличие полученного угла от угла, найденного в упражнении 19, вытекает из того, что теперь мы рассматривали преобразование скорости — величины, включающей время. В последнем уравнении угол φ стремится к нулю при β_𝑟→1, тогда как, напротив, в упражнении 19 мы нашли, что угол наклона метрового стержня по отношению к направлению относительного движения систем стремится к 90°, когда β_𝑟→1. ▲

22. Эффект «прожектора» ¹)

¹) Здесь речь идёт о том пучке лучей, который испущен при единичной мгновенной вспышке. Если бы «прожектор» действовал непрерывно в течение всего времени, его луч, напротив, расширился бы вокруг оси, совпадающей с направлением движения (вперёд или назад—несущественно), концентрируясь с точки зрения неподвижного наблюдателя в перпендикулярном движению «прожектора» направлении (например, на летящем вместе с ним экране). См. в связи с этим упражнение 19. Я благодарен П. И. Филиппову, заметившему этот эффект и обратившему на него моё внимание.—Прим. перев.

В системе отсчёта ракеты проекция на ось 𝑥 пути, пройденного светом вспышки, равна Δ𝑥'=cos φ'⋅Δ𝑡'.

Чтобы найти Δ𝑥 и Δ𝑡 в лабораторной системе отсчёта, воспользуемся формулами преобразования Лоренца (42). Скорость распространения света вспышки β равна единице как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Поэтому косинус угла между направлением луча и осью 𝑥 в лабораторной системе даётся выражением

Δ𝑥

Δ𝑡

=

cos φ

=

cos φ'+β_𝑟

β_𝑟 cos φ'+1

.

Это выражение совпадает с полученным в упражнении 21 в случае, когда β'=1, как можно показать на основании тригонометрических тождеств. Лучи, распространяющиеся в переднее полушарие в системе отсчёта ракеты, обладают углами, меньшими, чем φ'=90°. Из только что полученного выражения следует величина максимального угла для таких лучей в лабораторной системе отсчёта: cos φ=β_𝑟 при φ'=90°.

Весь свет, испущенный лампой в её системе покоя в переднее полушарие, собирается в направленном вперёд конусе с таким углом раствора относительно направления движения лампы, если наблюдение проводится из лабораторной системы отсчёта. ▲