Физика пространства - времени

23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример

Решение дано в тексте.

24. Загадка Эйнштейна

Да, он увидит себя в зеркале. В его системе отсчёта, как и в любой другой инерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью. Своё изображение в зеркале он будет видеть точно таким же, как и при любой другой постоянной скорости движения относительно земли. ▲

25. Парадокс шеста и сарая

Рис. 144. Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта сарая.

Рис. 145. Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта бегуна.

Разрешение этого «парадокса» состоит в том, что в системе отсчёта бегуна передний конец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времени не находится в сарае целиком. Последовательность событий можно подробнее проиллюстрировать двумя диаграммами пространства-времени (рис. 144 и 145), численные значения длин и моментов времени на которых можно получить из следующих соображений. Так как множитель, описывающий лоренцево сокращение, по условию задачи равен 2, то (см. упражнение 9)

ch θ

_𝑟

=

2

.

Поэтому из тождества

ch²θ

-

sh²θ

=

1

следует, что

sh θ

_𝑟

=

√

3

.

Отсюда относительная скорость двух систем отсчёта равна

β

_𝑟

=

th θ

_𝑟

=

√3

2

.

Чтобы найти численные значения, приведённые на рис. 144 и 145, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчёта бегуна равна 20 м, а в лабораторной системе 10 м. ▲

26. Война в космосе

Камень преткновения состоял в понятии одновременности —«в тот момент, когда» (см. также упражнение 11). Точки 𝑎 и 𝑎' могут поравняться друг с другом только в другом месте вдоль траектории относительного движения ракет, а не в точке, где производится выстрел из орудия. Поэтому момент, когда точки 𝑎 и 𝑎' поравнялись друг с другом, может совпадать с моментом выстрела лишь в какой-то одной из двух систем отсчёта. По условию задачи такая одновременность имеет место в системе 𝑂, так что рис. 42 правилен по определению. Но рис. 43 неверен: к тому времени, когда в системе 𝑂' поравняются точки 𝑎 и 𝑎', выстрел уже будет произведена Неверна и подпись под рис. 43: снаряд пролетит мимо ракеты с точки зрения обеих систем отсчёта. ▲

27. Парадокс часов

а) Возраст отправившегося в путешествие Петра будет при его возвращении равен (в годах): 21 (возраст на старте) + 7 (время, проведённое на удаляющейся от Павла ракете 𝐴) + 7 (время, проведённое на приближающейся к Павлу ракете 𝐵), т.е. всего 35 лет.

б) См. рис. 146.

Рис. 146.

в) Исходя из величины относительной скорости, равной 24/25, найдём значение гиперболического косинуса от параметра скорости

ch θ

_𝑟

=

√

1-β

_𝑟

²

=

25

7

.

Точка, в которой Пётр изменил свою скорость на обратную, имеет в системе отсчёта ракеты 𝐴 координату 𝑥'=0, так как Пётр всё время был в начале координат этой системы; время же, соответствующее этому моменту, равно в системе отсчёта ракеты 𝑡'=7 лет. Из формулы преобразования Лоренца для времени найдём, что момент изменения направления скорости в лабораторной системе отсчёта соответствует

𝑡

=

𝑥' sh



θ

_𝑟

+

𝑡' ch



θ

_𝑟

=

0+7

⋅

25

7

лет

.

Промежуток времени между расставанием и встречей в лабораторной системе отсчёта вдвое превышает это 𝑟, так что к моменту встречи Павлу исполнится 21 + 25 + 25 = 71 год, и он будет более чем в два раза старше, чем Пётр-путешественник! ▲

28. Предметы, движущиеся быстрее света

а) Когда стержень проходит в своём движении вниз расстояние Δ𝑦=β^𝑦Δ𝑡, точка 𝐴 продвигается вдоль оси 𝑥 на расстояние Δ𝑥, даваемое выражением

Δ𝑦

Δ𝑥

=

tg φ

,

т.е.

Δ

𝑥

=

Δ𝑦

tg φ

=

β^𝑦

tgφ

Δ

𝑡'

.

Поэтому скорость движения точки пересечения 𝐴 равна

β

_𝐴

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

β^𝑦

tgφ

.

Для любой величины β^𝑦 можно подобрать такой достаточно маленький, но всё же отличный от нуля угол φ, что β_𝐴 будет больше единицы, т.е. будет превышать скорость света. Но такое перемещение точки пересечения ни в коей мере не влечёт за собой передачи информации вдоль оси 𝑥 точно так же, как не происходит переноса информации между двумя будильниками, заранее поставленными на определённые моменты времени и зазвеневшими поэтому в разных точках пространства с таким интервалом времени между звонками, что свет не мог бы связать эти два события. В настоящем же примере нужно было предварительно в течение длительного срока ускорять длинный прямой стержень, пока он не приобрёл бы своей конечной скорости, а наблюдатель в начале координат не имеет никакого шанса передать только что появившуюся у него информацию другому наблюдателю, находящемуся далеко от него вдоль оси 𝑥, с помощью мчащейся точки пересечения. В части б) этого упражнения рассмотрена безуспешная попытка передать такую вновь полученную информацию со сверхсветовой скоростью.

б) В этом случае точка пересечения сможет перемещаться вправо не быстрее, чем со скоростью распространения в стержне акустических волн, т.е. со скоростью, во много раз меньшей, чем скорость света.