Физика пространства - времени

Событие 𝐴 — лампа даёт вспышку. Её свет распространяется к отражателю 𝑅 (рис. 13), от которого он снова идёт вниз. Событие 𝐵 — приём вспышки. Рассмотрим теперь подробности согласно рис. 13.

а) Путь светового луча, наблюдаемый в лабораторной системе отсчёта.

б) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета ракеты.

в) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета сверхракеты.

Рис. 13. Испускание, отражение и приём опорной вспышки (приём происходит в начале координат в системе отсчёта ракеты).

Подробности о координатах событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты

Лампа даёт вспышку в лабораторной системе в нулевой момент времени в начале системы координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 (на рисунке заштриховано). Пролёт ракеты мимо этого места приурочен к такому времени, что и для ракеты вспышка имеет место также в начале координат (заштриховано снова) и в нулевой момент. Подытожим данные о координатах события 𝐴 (акт излучения):

𝑥

_𝐴

=0,

𝑦

_𝐴

=0,

𝑡

_𝐴

=0,

(в лабораторной системе),

𝑥

_𝐴

́ =0,

𝑦

_𝐴

́ =0,

𝑡

_𝐴

́ =0,

(в системе ракеты).

Отражатель укреплён на часах ракеты на расстоянии 1 м прямо над началом координат.

В системе ракеты приём вспышки осуществляется в том же месте, где произошло её излучение. Свет вспышки прошёл замкнутый путь длиной 2 м, и на этот путь потребовалось 2 м светового времени. Поэтому координаты события 𝐵 (акт приёма вспышки) в системе отсчёта ракеты равны:

𝑥

_𝐵

́ =0,

𝑦

_𝐵

́ =0,

𝑧

_𝐵

́ =2

м

.

Более содержательны не абсолютные значения координат, а разности координат событий 𝐴 и 𝐵:

Δ

𝑥

 

́

=

𝑥

_𝐵

́ -𝑥

_𝐴

́

=

0,

Δ

𝑦

 

́

=

𝑦

_𝐵

́ -𝑦

_𝐴

́

=

0,

Δ

𝑡

 

́

=

𝑡

_𝐵

́ -𝑡

_𝐴

́

=

2

м

.

В лабораторной системе отсчёта приём вспышки происходит не в начале координат, а на расстоянии Δ𝑥 вправо от него. Если скорость ракеты велика, то велико и расстояние Δ𝑥; если скорость мала, то мало и Δ𝑥. (На рисунке это расстояние равно 1 м, однако дальнейшие расчёты справедливы для любого расстояния). В лабораторной системе отсчёта свет распространяется по гипотенузам двух прямоугольных треугольников, основание каждого из которых равно Δ𝑥/2, а высота 1 м. Полная длина пути поэтому получается равной

2

√

1+(

Δ

𝑥/2)²

Вспомним теперь, что скорость света одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты (что хотя и неправдоподобно, но является законом природы!). Поэтому разность времён акта излучения и акта приёма вспышки в лабораторной системе отсчёта выражается такой же формулой

Δ

𝑡

=

𝑡

_𝐵

-

𝑡

_𝐴

=

2

√

1+(

Δ

𝑥/2)²

(4)

(в метрах светового времени).

Промежуток времени между событиями 𝐴 и 𝐵 неодинаков для наблюдателей в лаборатории и на ракете

Почему этот промежуток времени превышает 2 м? Дело в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника на рис. 13,а больше, чем его высота. Поэтому невозможно избежать заключения о том, что промежуток времени между актами излучения и приёма вспышки неодинаков в двух инерциальных системах отсчёта.

Таблица 5.

Разности координат событий приёма и посылки сигнала

Лабораторная система

отсчёта

Система отсчёта

ракеты

𝑥

_приём

-𝑥

_излуч

=

Δ

𝑥

𝑥

_приём

'-𝑥

_излуч

'=

Δ

𝑥'

=0

𝑡_приём-𝑡_излуч=Δ𝑡=

=2√1+(Δ𝑥/2)²

𝑡

_приём

'-𝑡

_излуч

'=

Δ

𝑥'

=2

м

В табл. 5 сведены разности как пространственных, так и временной координат событий 𝐴 и 𝐵. Промежуток времени различен в разных инерциальных системах отсчёта; различен и промежуток, разделяющий события в пространстве,— картина аналогична той, когда разности координат Δ𝑥 и Δ𝑦 для двух городских ворот были разными для дневного и ночного землемеров! Но для этих землемеров существовала комбинация координат (квадрат расстояния между воротами), одинаковая для них обоих:

(Расстояние)

²

=

(

Δ

𝑥

)

²

+

(

Δ

𝑦

)

²

=

(

Δ

𝑥'

)

²

+

(

Δ

𝑦'

)

²

.

Есть ли подобная комбинация координат наших двух событий, которая была бы одинаковой в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты? Ответ на этот вопрос: да! Квадрат интервала

(Интервал)

²

=

(

Δ

𝑡

)

²

-

(

Δ

𝑥

)

²

=

(

Δ

𝑡'

)

²

-

(

Δ

𝑥'

)

²

=

(2

м

)

²

(5)

— именно такая величина, как можно проверить путём непосредственной подстановки величин, фигурирующих в табл. 5.

Интервал между между событиями 𝐴 и 𝐵 имеет одну и ту же величину как для наблюдателя в лаборатории, так и на ракете