Физика пространства - времени

а) Пусть в плоскости 𝑥𝑦 эвклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости 𝑥𝑦; постройте проекции стержня на оси 𝑥, 𝑦 и 𝑥', 𝑦'. Разберите аналогию между различием в значениях 𝑥-компонент длины стержня, измеренных в двух повёрнутых относительно друг друга эвклидовых системах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта, и покоящегося в системе ракеты стержня.

б) Разберите аналогию между замедлением времени и изменением длины 𝑦-компоненты стержня при переходе между повёрнутыми друг относительно друга эвклидовыми системами координат [см. часть (а)]. Назовите инварианты геометрии Эвклида и геометрии Лоренца.

в) Разберите аналогию между относительной синхронизацией часов и случаем двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых систем координат, когда точки на положительной части оси 𝑥 в одной системе координат будут иметь, скажем, отрицательные значения координаты 𝑦 в другой системе (и тем более отрицательные, чем дальше мы будем уходить от начала координат). ▼

13. Лоренцево сокращение. II

Пусть метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, направлен вдоль оси 𝑥'. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что стержень претерпел лоренцево сокращение, если измерит время, за которое этот стержень пролетает мимо одних из часов лабораторной системы, и умножит его на величину относительной скорости движения систем. ▼

14. Замедление хода часов. II

Два события происходят в одном и том же месте, но в разные моменты времени в системе отсчёта ракеты. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что промежуток времени между этими двумя событиями будет больше в его системе, если измерит расстояние между событиями в лабораторной системе и разделит его на величину относительной скорости движения систем. ▼

15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах

Пусть время измеряется в секундах (пометим это индексом: 𝑡_сек), а 𝑣_𝑟 — относительная скорость лабораторной системы отсчёта и системы ракеты, выраженная в м/сек. Покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают тогда вид

𝑥'

=

𝑥 ch θ

_𝑟

-

𝑐𝑡

_сек

sh θ

_𝑟

=

𝑥-𝑣_𝑟𝑡_сек

√1-(𝑣_𝑟²/𝑐²)

,

𝑡

_сек

-

𝑣

_𝑟

𝑥

𝑡

_сек

'

=-

𝑡

sh θ

_𝑟

+

𝑡

_сек

ch θ

_𝑟

=

𝑐²

,

𝑐

√

1-(𝑣

_𝑟

²/𝑐²)

(48)

где

𝑣_𝑟

𝑐

=

th θ

_𝑟

.

Запишите в тех же обозначениях и обратное преобразование Лоренца. ▼

16*. Вывод формул преобразования Лоренца

Воспользуйтесь следующим новым методом (принадлежащим Эйнштейну) для вывода формул преобразования Лоренца. Пусть ракета равномерно движется со скоростью β_𝑟 в направлении оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта. Координаты 𝑥', 𝑦', 𝑧', 𝑡' произвольного события (например, взрыва) в системе отсчёта ракеты взаимно однозначно связаны с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 этого же события, измеренными в лабораторной системе. При этом 𝑦=𝑦' и 𝑧=𝑧' (расстояния в направлениях, перпендикулярных движению, совпадают в обеих системах). Что же касается связи между 𝑥, 𝑡 и 𝑥', 𝑡' то предположим существование линейной зависимости

𝑥

=

𝑎𝑥'

+

𝑏𝑡'

,

𝑡

=

𝑒𝑥'

+

𝑓𝑡'

.

Здесь четвёрка коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑒 и 𝑓 1) неизвестна, 2) не зависит ни от 𝑥, 𝑡, ни от 𝑥', 𝑡' 3) зависит лишь от относительной скорости β_𝑟 движения этих двух систем отсчёта.

Найдите отношения 𝑏/𝑎, 𝑒/𝑎, 𝑓/𝑎 как функции скорости β_𝑟, исходя лишь из следующих трёх предположений: 1) световая вспышка, происшедшая в 𝑥=0, 𝑡=0 (𝑥'=0, 𝑡'=0) распространяется вправо со скоростью света в обеих системах отсчёта (𝑥=𝑡, 𝑥'=𝑡') 2) световая вспышка, происшедшая в 𝑥=0, 𝑡=0 (𝑥'=0, 𝑡'=0), распространяется влево со скоростью света в обеих системах отсчёта (𝑥=-𝑡, 𝑥'=-𝑡') 3) точка 𝑥'=0 обладает в лабораторной системе отсчёта скоростью β_𝑟.

Теперь используйте четвёртое предположение — инвариантность интервала (разд. 5): 4) 𝑡²-𝑥²=(𝑡')²-(𝑥')² и найдите с его помощью величину постоянной 𝑎, а тем самым значения всех 4 коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑒 и 𝑓. Согласуются ли полученные таким путём результаты с лоренцевыми значениями коэффициентов преобразования? ▼

17*. Собственная длина и собственное время

а) Пусть два события 𝑃 и 𝑄 разделены пространственноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли одновременно. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты расстояние между данными событиями равно собственному расстоянию а между ними. (Один из путей: предположим, что такая система отсчёта действительно существует, а затем с помощью формул преобразования Лоренца покажем, что относительная скорость этой системы меньше скорости света (β_𝑟<1), что и оправдывает сделанное предположение).