Физика пространства - времени

Решение. Да, различие между размерами предметов в направлении оси 𝑥, зарегистрированными в этих двух системах отсчёта, существует. Однако физика явлений в обеих системах ничем не отличается. Метровый стержень, покоящийся относительно ракеты и направленный по её движению, оказывается короче длины 1 м в лаборатории. Но и метровый стержень, покоящийся в лаборатории и параллельный направлению движения, окажется укороченным при его измерении работниками на ракете. «Что за нелепица! — возразите вы.— Мне стоит только привлечь элементарную логику, и вся эта релятивистская бессмыслица рухнет. Вы говорите, что метровый стержень на ракете может при измерении из лаборатории оказаться длиной всего в полметра, но тогда вы должны согласиться, что длина в полметра в лаборатории регистрируется на ракете как полный метр. Итак, размеры тел в системе отсчёта ракеты больше, чем их размеры в лабораторной системе (в направлении движения). Значит, там различна сама физика — почему бы ей не быть разной в двух разных системах отсчёта. И я без труда определю, в какой системе отсчёта нахожусь — в лабораторной системе или в системе ракеты. А принцип относительности?! Это же просто выдумка!» Мы ответим на это возражение так. Вероятно, каждый из нас при первом знакомстве с идеями Эйнштейна и Лоренца находит их обескураживающими; ведь мы так мало имели дела с предметами, двигающимися по-настоящему быстро. Может быть, принцип относительности покажется вам немного уютнее, если вы познакомитесь с его аналогом в эвклидовой геометрии. Конечно, между формулами (Δ𝐿)²=(Δ𝑥)²+(Δ𝑦)² в эвклидовой геометрии и (Δτ)²=(Δ𝑡)²-(Δ𝑥)² в лоренцевой геометрии есть некоторая разница. Но ясно, что вас больше волнует вопрос о том, могут ли расстояния в одной системе отличаться от расстояний в другой, чем то, меньше ли расстояния в новой системе, чем в старой (лоренцево сокращение в лоренцевой геометрии), или то, больше ли они в новой системе, чем в старой (возрастание длин в эвклидовой геометрии). Взглянем же на рис. 36. Там изображено поле, протяжённость которого в направлении оси 𝑥 явно превышает протяжённость в направлении оси 𝑥':

Δ

𝑥

=

Δ𝑥'

cos θ_𝑟

.

(40)

Рис. 37. Другое поле, простирающееся на большее расстояние в направлении 𝑥' чем в направлении 𝑥.

С другой стороны, взглянем на рис. 37 (в упражнении 48 вы найдёте пространственно-временные аналоги рис. 36 и 37). Здесь изображено другое поле, которое простирается в направлении оси 𝑥 на то же расстояние Δ𝑥. Однако его протяжённость в направлении оси 𝑥' больше, чем Δ𝑥:

Δ

𝑥'

=

Δ𝑥

cos θ_𝑟

.

(41)

Вы безусловно согласитесь с этими выводами. У вас даже не зародится сомнения, будто формулы (40) и (41) противоречат друг другу. Ведь вы понимаете, что величина Δ𝑥 в этих формулах каждый раз относится к другому измерению другого поля. Может быть, теперь вы будете готовы поверить, что длина метрового стержня, покоящегося относительно ракеты, будет зарегистрирована в лаборатории как отрезок меньше одного метра длины, тогда как метровый стержень, покоящийся в лаборатории, окажется короче одного метра при измерении с ракеты? Вы скажете: «Я согласен теперь, что в ваших утверждениях нет логических противоречий. Но, может быть, вы не остановитесь на том, что сказали, и по-настоящему докажете мне справедливость сказанного только что, а именно что метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе, будет короче одного метра с точки зрения системы отсчёта ракеты». Ответ таков: разрешим формулы преобразования Лоренца (39) относительно координат лабораторной системы отсчёта, выразив их через координаты в системе ракеты. Иначе говоря, поменяем местами штрихованные и нештрихованные координаты в этих формулах и заменим знак скорости на обратный. Или же просто перейдём к уравнениям (36), обратным по отношению к (39). В любом случае запишем соотношения

Δ

𝑥

=

Δ

𝑥' ch θ

_𝑟

-

Δ

𝑡' sh θ

_𝑟

,

Δ

𝑡

=

-

Δ

𝑥' sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡' ch θ

_𝑟

,

Δ

𝑦

=

Δ

𝑦',

Δ

𝑧

=

Δ

𝑧'.

(42)

Новый метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта. Если смотреть из системы отсчёта ракеты, он находится в движении. Поэтому при определении его длины в системе отсчёта ракеты мы должны исходить из двух отправных точек в этой системе, а именно из положений концов нашего метрового стержня в один и тот же момент времени в системе отсчёта ракеты. Итак, Δ𝑡'=0. Первое из соотношений (42) сразу же даёт

Δ

𝑥'

=

Δ𝑥

ch θ_𝑟

=

Δ

𝑥

⋅

√

1-β

_𝑟

²

.

(43)

Длина, зарегистрированная в системе отсчёта ракеты, короче одного метра, если метровый стержень покоится относительно лаборатории, что и требовалось доказать.

10. Замедление хода часов

Пусть часы движутся вместе с ракетой (рис. 38) и наблюдаются из лабораторной системы отсчёта (лабораторная решётка стержней и часов). В чём будет состоять отличие заключений наблюдателя в лаборатории относительно времени, показываемого движущимися часами, от того, что предсказывала дорелятивистская физика? Разобьём этот вопрос на 4 части.