Физика пространства - времени

б) Пусть два события 𝑃 и 𝑅 разделены временноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты промежуток времени между данными событиями равен промежутку собственного времени τ между ними. ▼

18*. Плоскость обоюдного согласия

В каждый момент имеется лишь одна плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают. Покажите, что скорость движения этой плоскости в лабораторной системе отсчёта равна th (θ_𝑟/2), где θ_𝑟 — параметр относительной скорости лабораторной системы отсчёта и системы ракеты. ▼

19*. Преобразование углов

Метровый стержень покоится в системе отсчёта ракеты под углом φ' с осью 𝑥. Под каким углом φ ориентирован тот же метровый стержень к оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта? Чему равна длина этого стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта? Предположим теперь, что направления электрических силовых линий вокруг точечного заряда преобразуются так же, как направление метрового стержня, направленного вдоль той же линии. Качественно изобразите электрические силовые линии изолированного точечного положительного заряда, покоящегося в системе отсчёта ракеты, если их рассматривать: а) в системе отсчёта ракеты и б) в лабораторной системе отсчёта. Какие отсюда можно получить выводы о силах, действующих в лабораторной системе отсчёта на покоящиеся в этой системе пробные заряды, окружающие наш движущийся заряд? ▼

20*. Преобразование скорости вдоль оси 𝑦

Пусть частица движется с постоянной скоростью β^𝑦'=Δ𝑦'/Δ𝑡' в направлении оси 𝑦' в системе отсчёта ракеты. Преобразуйте компоненты её смещения 𝑦 и 𝑡 пользуясь формулами преобразования Лоренца. Покажите, что 𝑥- и 𝑦- компоненты скорости этой частицы выражаются в лабораторной системе отсчёта как

β

^𝑥

=

th θ

_𝑟

,

β

^𝑦

=

β^𝑦'

ch θ_𝑟

.

(49)

▼

21**. Преобразование направлений скоростей

Пусть частица движется со скоростью β' в плоскости 𝑥'𝑦' в системе отсчёта ракеты, и направление её движения образует угол φ' с осью 𝑥'. Найти угол, который образует направление скорости этой частицы с осью 𝑥 в лабораторной системе отсчёта. (Совет: преобразовать не скорости, а смещения). Почему получаемый угол будет иным, чем найденный в упражнении 19? Сравните эти результаты в предположении, что скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта весьма велика. ▼

22**. Эффект «прожектора»

Световая вспышка испущена под углом φ' к оси 𝑥' в системе отсчёта ракеты. Показать, что угол φ направления распространения этой вспышки по отношению к оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта даётся уравнением

cos φ

=

cos φ'+β_𝑟

1+β_𝑟cos φ'

.

(50)

Показать, что этот результат можно получить из решения предыдущего упражнения, положив в нем скорость β' равной единице. Рассмотрите затем частицу, покоящуюся в системе отсчёта ракеты и равномерно излучающую свет во всех направлениях. Рассмотрите те 50% света, которые эта частица излучает в переднюю полусферу в системе отсчёта ракеты. Примите также, что ракета движется относительно лабораторной системы отсчёта весьма быстро. Требуется показать, что в лабораторной системе отсчёта этот свет сконцентрируется в узкий конус, направленный вперёд по движению, с осью, совпадающей с направлением движения частицы. Это явление называется эффектом «прожектора». ▼

В. ЗАГАДКИ И ПАРАДОКСЫ

23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример

Пусть на поезде, движущемся со скоростью β_𝑟, близкой к единице, едут три человека (𝐴, 𝑂 и 𝐵). 𝐴 едет в голове поезда, 𝑂 в середине, а 𝐵 — в хвосте (рис. 39). На земле около железнодорожного пути стоит четвёртый человек, 𝑂'. В тот самый момент, когда 𝑂 проезжает мимо 𝑂', сигналы ламп вспышек от 𝐴 и 𝐵 достигают 𝑂 и 𝑂'. Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника, покажите, что 𝑂 и 𝑂' ответят на этот вопрос по-разному. Найдя качественное решение задачи, вычислите количественно разницу между моментами времени, когда послали сигналы 𝐴 и 𝐵, наблюдаемую в системе отсчёта поезда (Δ𝑡_𝐵𝐴) и в системе отсчёта 𝑂' (Δ𝑡_𝐵𝐴'); пользуясь преобразованием Лоренца или другим путём.

Рис. 39. Кто подал сигнал первым — путешественник 𝐴 или путешественник 𝐵?