Физика пространства - времени

Мистер Энгельсберг не признаёт нашего метода синхронизации часов световыми сигналами (разд. 4). Он заявляет: «Я могу синхронизировать свои часы тем способом, какой мне понравится». Прав ли он? Мистер Энгельсберг хочет синхронизировать пару тождественных часов (назовём их Биг Бен и Литтл Бен), расположенных в миллионе миль друг от друга (чуть больше, чем в 1,5⋅10⁹ м), относительная скорость которых равна нулю. Он берёт для этого третьи часы той же конструкции, что двое первых, и заставляет их двигаться с постоянной скоростью между ними. При прохождении мимо Биг Бена эти часы устанавливаются на то время, которое он показывает в этот момент. Когда движущиеся часы проходят мимо Литтл Бена, этот последний ставится по времени, которое показывают движущиеся часы. «Вот теперь Биг Бен и Литтл Бен синхронизированы»,— объявляет мистер Энгельсберг. Прав ли он? Насколько именно рассинхронизированы при этом Биг Бен и Литтл Бен, если это проверить по решётке часов, покоящейся относительно их и синхронизированной обычным методом световых сигналов? Подсчитайте величину рассинхронизированности, если мистер Энгельсберг пользуется третьими часами, движущимися со скоростью сто тысяч миль в час (4,5⋅10⁴ м/сек). Есть ли какая-нибудь причина (не считая субъективного предпочтения), почему никто из нас не пользуется методом синхронизации, предлагаемым мистером Энгельсбергом?

Решение. Проведём сначала количественный расчёт. Для наблюдения за движущимися (третьими) часами можно воспользоваться решёткой часов, покоящейся относительно Биг Бена и Литтл Бена, которую мы синхронизировали стандартным методом световых сигналов. Относительно этой решётки третьи часы движутся со скоростью 𝑣=4,5⋅10⁴ м/сек, т.е.

β

=

𝑣

𝑐

=

4,5⋅10⁴ м/сек

3⋅10⁸ м/сек

=

1,5⋅10⁴

м

Длины за 1 м светового времени.

При такой скорости третьи часы покрывают расстояние между Биг Беном и Литтл Беном за срок Δ𝑡=10¹³ м светового времени. Сравнивая показания стрелок движущихся часов и часов решётки, мимо которых они поочерёдно проходят, мы сталкиваемся с эффектом замедления времени (упражнение 10. По отношению к часам решётки движущиеся часы будут идти медленнее в (√1-β²)⁻¹ раз. Поэтому эти движущиеся (третьи) часы зарегистрируют в качестве срока путешествия от Биг Бена до Литтл Бена время

Δ

𝑡'

=

Δ

𝑡

√

1-β²

=

Δ

𝑡

⋅

(1-2,25⋅10⁻⁸)¹

^/

².

 

Воспользуемся разложением для бинома

(1-δ)¹

^/

²

=

1

-

δ

2

-

δ²

8

-…

≈

1

-

δ

2

,

(так как величина δ мала) и получим приближённый ответ

Δ

𝑡'

=

Δ

𝑡

-

1

2

⋅2,25⋅10⁻⁸

Δ

𝑡

,

или

Δ

𝑡'

-

Δ

𝑡

=-

1,12⋅10⁻⁸

⋅

10¹³

=-

1,12⋅10⁵

м

=

=-

0,4⋅10⁻³

сек

.

(51)

Поставим стрелки Литтл Бена по движущимся часам, а затем сверим их с соседними часами решётки. Литтл Бен будет отставать от часов решётки на 0,4 миллисекунд (мсек).

Промежуток времени для движущихся часов, равный Δ𝑡' на пути между Биг Беном и Литтл Беном, можно определить и более непосредственным путём. Часы движутся по прямой. Интервал прошедшего времени, зарегистрированный ими на соответствующей мировой линии, равен поэтому собственной длине этой мировой линии между данными двумя событиями, т.е. он равен интервалу между прохождениями мимо Биг Бена и Литтл Бена:

Δ𝑡'=Δ(собственное время)=(Интервал)=

=√(Δ𝑡)²-(Δ𝑥)².

Вычисленная отсюда величина расхождения показаний лабораторных и движущихся часов в полном соответствии с результатом (51) равна

Δ

𝑡'

-

Δ

𝑡

=

√

(

Δ

𝑡)²-(

Δ

𝑥)²

-

Δ

𝑡

.

Обратимся теперь к вопросу о пригодности метода движущихся часов для процедуры синхронизации. Мистер Энгельсберг волен определять синхронизацию как ему будет угодно. Однако, используя метод движущихся часов для синхронизации Биг Бена и Литтл Бена, он натолкнётся на следующие трудности: 1) Время, которое будет поставлено на лабораторных часах при такой синхронизации, окажется зависящим от скорости движущихся часов. Возьмём, например, часы, летящие в десять раз быстрее, чем в разобранном выше случае. Тогда расхождение между Литтл Беном и соседними с ним часами решётки составит уже не 0,4, а 40 мсек. Два Литтл Бена, стоящие рядом друг с другом, будут показывать разное время, если их синхронизировать с Биг Беном с помощью разных часов (движущихся с различными скоростями)! 2) Даже если условиться всегда использовать движущиеся часы, летящие с некоторой данной скоростью, результат синхронизации при таком методе будет зависеть от пути движущихся часов. Чем длиннее будет путь, пройденный движущимися часами с постоянной скоростью, тем больше будут отставать часы Литтл Бен по сравнению с соседними часами решётки. 3) Если движущиеся часы вернутся к Биг Бену, совершив путешествие по замкнутому маршруту, они окажутся рассинхронизированными с Биг Беном по возвращении! (См. парадокс часов; упражнение 27). Метод синхронизации мистера Энгельсберга приводит и к другим неприятностям, но уже приведённых вполне достаточно, чтобы показать его непригодность для составления простого описания явлений, протекающих в пространстве-времени.

30. Конструкция часов и замедление их хода