Физика пространства - времени

Пусть угол между соответствующими осями двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых (декартовых) систем, θ_𝑟, весьма мал. Пользуясь приведёнными в табл. 8 разложениями в ряды, найдите приближённый вид формул преобразования, связывающих значения координат некоторой данной точки в этих двух системах. Пренебрегите степенями θ_𝑟 выше первой.

Решение. При малых θ_𝑟 табл. 8 даёт

sin θ

_𝑟

≈

θ

_𝑟

,

cos θ

_𝑟

≈

1,

Поэтому формулы преобразования в эвклидовой геометрии, обратные формулам (29), приобретают вид

𝑥'

=

𝑥 cos θ

_𝑟

-

𝑦 sin θ

_𝑟

≈

𝑥-θ

_𝑟

𝑦

,

𝑦'

=

𝑥 sin θ

_𝑟

+

𝑦 cos θ

_𝑟

≈

θ

_𝑟

𝑥+𝑦

.

(56)

Эти приближённые формулы преобразования могут быть сделаны сколь угодно точными, для чего достаточно взять соответственно малый угол θ_𝑟.

38. Преобразование Галилея

Предположим, что величина β_𝑟 весьма мала. Тогда β_𝑟=th θ_𝑟≈θ_𝑟. Пользуясь приведёнными в табл. 8 разложениями в ряды и пренебрегая степенями θ_𝑟 выше первой, покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают вид (β_𝑟≪1)

𝑥'

=

𝑥-β

_𝑟

𝑡

(57)

и

𝑡'

=-

β

_𝑟

𝑥+𝑡

.

(58)

Теперь, исходя из обыденных нерелятивистских ньютоновских соображений, выведите формулы преобразования, связывающие между собой две системы отсчёта. Это преобразование называется преобразованием Галилея и выражается формулами

𝑥'

=

𝑥-𝑣

_𝑟

𝑡

_сек

(59)

(собственно преобразование Галилея) и

𝑡

_сек

'

=

𝑡

_сек

.

(60)

Здесь 𝑣_𝑟 — скорость относительного движения двух систем отсчёта, выраженная в метрах в секунду.

Может показаться, что формулы (57) и (58) и формулы (59) и (60) полностью противоречат друг другу. Справедливо ли это первое впечатление, а если нет, то почему? [Обсуждение. Почему в преобразовании Галилея (59) скорость 𝑣_𝑟 заменяет величину β_𝑟 из формулы (57)? Какой вид принимает формула (58), если подставить в неё величины 𝑣_𝑟 и 𝑡_сек? Как соотносятся друг с другом обыденные скорости и скорость света?] ▼

39*. Пределы применимости преобразования Галилея

Перейдите к более точному приближению в записи формул преобразования Лоренца при малых относительных скоростях, сохранив члены порядка θ_𝑟², но продолжая пренебрегать членами более высоких порядков. (Это —«второе приближение по θ_𝑟». Обратите внимание на то, что, согласно табл. 8, разложение th θ_𝑟 даже во втором порядке по θ_𝑟 даёт β_𝑟≈θ_𝑟). Покажите, что и в этом улучшенном втором приближении коэффициенты при 𝑥 и 𝑡 согласуются с соответствующими коэффициентами в формулах (57) и (58) с точностью, превышающей 1%, если скорости β_𝑟 ниже чем ¹/₇.

Если гоночный автомобиль может при постоянном ускорении с места набрать за 7 сек скорость 60 миль/час (около 27 м/сек), то за сколько дней (приблизительно) он достигнет при том же ускорении скорости β=1/7? За сколько дней можно достичь этой скорости при наивысшем ускорении, переносимом человеческим организмом в течение длительных периодов времени (около 7 𝑔, т.е. при семикратном ускорении свободного падения)? ▼

40*. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности. Область, в которой обе теории совпадают друг с другом с точностью до 1 %

Рис. 53. Изображение симметричного упругого рассеяния в лабораторной системе отсчёта. (Обратите внимание на разную штриховку кадров в лабораторной системе отсчёта и системе отсчёта ракеты!).