Физика пространства - времени

Покажите, что налетающий протон может обладать скоростями вплоть до β=²/₇, и тем не менее угол между скоростями 𝑣_𝐴 и 𝑣_𝐵 при симметричном рассеянии будет отличаться от 90° (своего значения в теории Ньютона) не более чем на 0,01 рад. Иными словами, покажите, что ньютоновская механика с хорошей точностью описывает столкновение частицы, летящей со скоростью (²/₇)𝑐, с покоящейся частицей (или столкновение двух частиц, летящих со скоростями (²/₇)𝑐 каждая). При этом вам могут пригодиться выводы из упражнения 20. ▼

41*. Примеры предельных переходов к механике Ньютона

Примем в качестве приблизительного верхнего предела применимости механики Ньютона скорость частиц β=¹/₇ (см. упражнение 39). Заполните клетки в нижеследующей таблице по аналогии с верхней графой, которую мы уже заполнили.

Пример движения

β

Корректно ли в этом примере использование механики Ньютона

?

Спутник, обращающийся вокруг Земли со скоростью 30 000

км/час

1/36 000

Да, так как

β<1/7

Земля, обращающаяся вокруг Солнца по орбите со скоростью 30

км/сек

Электрон, обращающийся вокруг протона (атом водорода) по орбите с минимальным радиусом. (Указание. Скорость электрона при его движении на основной орбите атома с атомным номером 𝑍, где 𝑍 — число протонов в ядре, выведена для случая малых скоростей в упражнении 101 гл. 2 и равна

𝑣

=

𝑍

137

⋅

𝑐;

для водорода 𝑍=1).

Электрон на основной орбите атома золота

𝑍=79

Электрон, движущийся с кинетической энергией 5000

эв

. (

Указание

: 1 эв =

1,6⋅10⁻¹⁹

дж

. Проведите оценку, исходя из ньютоновского выражения для кинетической энергии).

Протон или нейтрон, движущийся с кинетической энергией 10

Мэв

(миллионов электронвольт) в атомном ядре

▼

Е. ФИЗИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ. НОВЫЕ ФАКТЫ

42. Замедление времени для μ-мезона — подробный пример

Мю-мезоны (μ-мезоны) — элементарные частицы, образующиеся при некоторых ядерных реакциях. Если взять некоторое число этих мезонов, то через 1,5 микросекунды (мксек) (время измеряется в той системе отсчёта, в которой μ-мезоны покоятся) половина из них распадается на другие элементарные частицы. Половина оставшихся μ-мезонов распадается в следующие 1,5 мксек и т.д.

а) Рассмотрим (μ-мезоны, образовавшиеся при бомбардировке атомных ядер атмосферных газов космическими лучами на высоте 60 км над поверхностью Земли. Пусть эти μ-мезоны летят вертикально вниз со скоростью, близкой к скорости света. Приблизительно за сколько времени они достигнут поверхности Земли (время измеряется наблюдателем, покоящимся относительно Земли)? В случае если бы не происходило замедления хода времени, какая (приблизительно) часть общего числа мезонов, образовавшихся на высоте 60 км, достигла бы поверхности Земли, ещё не претерпев распада?

б) Представим довольно сложную ситуацию, имеющую место при реальных экспериментах, в виде идеализированной схемы, в общем ей равнозначной. Пусть все мезоны образуются на одной и той же высоте (60 км); пусть все они обладают одинаковой скоростью; пусть они летят вертикально вниз; наконец, пусть ¹/₈ от их общего числа достигает уровня моря, не успев распасться. Вопрос: что может быть причиной такого большого расхождения между предсказанием в п. (а) и приведёнными данными наблюдений? Насколько отличается при этом скорость данных μ-мезонов от скорости света? ¹)

¹) Существует кинофильм, посвящённый этому эксперименту. См. статью «Измерение релятивистского эффекта замедления хода времени с помощью μ-мезонов», David Н. Frisch, James Н. Smith, American Journal of Physics, 31, 342 (May, 1963). Оригинальный эксперимент был описан в статье В. Rossi, D. В. Hall, Physical Review, 59, 223 (1941).

Решение: Рассматриваемые μ-мезоны летят со скоростью, близкой к скорости света. Поэтому они проходят 60 км примерно за

60⋅10³ м

3⋅10⁸ м/сек

=

2⋅10⁻⁴

сек

.

«Половинное время жизни» (период полураспада) μ-мезонов в той системе отсчёта, где они покоятся, равно 1,6⋅10⁻⁶ сек. Если бы замедления хода времени не было, время полёта мезонов до поверхности Земли равнялось бы 2⋅10⁻⁴/1,6⋅10⁻⁶=133 периодам полураспада. По прошествии каждого периода полураспада число μ-мезонов уменьшается вдвое, так что после 133 периодов должна была бы остаться «в живых» лишь

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

…

=

⎛

⎜

⎝

1

2

⎞¹³³

⎟

⎠

≈

10⁻⁴⁰

часть их первоначального числа. На самом же деле осталось ¹/₈=(¹/₂)³, как показал эксперимент в п. (б). Значит, в системе отсчёта ракеты, в которой μ-мезоны покоятся, прошло время, равное лишь 3 периодам полураспада:

Δ

𝑡'

=

3⋅

(

1,5⋅10⁻⁶

сек

)

⋅

(

3⋅10⁸

м/сек

)

=

=

1,35⋅10³

м

.

Путь, пройденный мезоном в системе, связанной с ним самим, естественно, равен нулю:

Δ𝑥'=0.

Поэтому интервал собственного времени между событием «образование мезонов» и событием «достижение ими поверхности Земли» равен

Δ

τ

=

√

(

Δ