Физика пространства - времени

который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса 𝑝=𝑚β, где 𝑚 — постоянная, а β не может превышать единицы.

Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Однако процедура определения массы некоторой новой частицы, принявшей участие в процессе столкновения, в принципе одна и та же как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Её суть может быть выражена по-разному: 1) как принцип действия и противодействия; 2) как принцип, связывающий отдачу ружья с импульсом пули; 3) как закон сохранения импульса.

Определение массы неизвестной частицы по упругому столкновению её со стандартной частицей

Рис. 86. Скорости до и после лобового упругого столкновения, наблюдаемые в той системе отсчёта, где полный импульс равен нулю.

Рассмотрим специально лобовое упругое столкновение: 1) стандартной частицы массы 𝑚₁ (пусть величина этой массы произвольно устанавливается Международным комитетом мер и весов) и 2) исследуемой частицы, обладающей пока неизвестной массой 𝑚₂ величину которой нам нужно определить. Говоря, что столкновение является лобовым и упругим, мы имеем в виду существование такой системы отсчёта, в которой зарегистрированные до и после соударения данные о скоростях частиц обнаруживают симметрию, изображённую на рис. 86. Эта симметрия состоит в том, что полный импульс меняет свой знак на обратный в результате соударения. Но ведь полный импульс при соударении сохраняется! Значит, этот полный импульс должен быть равен нулю. Итак, импульсы наших двух частиц после столкновения должны удовлетворять условию

𝑚₁

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑τ

⎞

⎟

⎠₁

+

𝑚₂

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑τ

⎞

⎟

⎠₂

=

0.

Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:

𝑚₂

𝑚₁

=

(-𝑑𝑥/𝑑τ)₁

(𝑑𝑥/𝑑τ)₂

=

=

-Δ𝑥₁

√(Δ𝑡₁)²-(Δ𝑥₁)²

×

√(Δ𝑡₂)²-(Δ𝑥₂)²

Δ𝑥₂

.

(75)

Здесь Δ𝑥₁ и Δ𝑥₂ — расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а Δ𝑡₁ и Δ𝑡₂ — соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид

𝑚₂

𝑚₁

=-

β₂

β₁

=

-Δ𝑥₁/Δ𝑡₁

Δ𝑥₂/Δ𝑡₂

⎛

⎜

⎝

ньютоновский

предел

⎞

⎟

⎠

.

(76)

Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.

12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) 𝐴 в пространстве-времени в соседнюю мировую точку 𝐵. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий 𝐴 и 𝐵 ¹). Компоненты этого 4-вектора (смещения 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и 𝑑𝑡) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора 𝐴𝐵, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий 𝐴 и 𝐵, а значит, и положение 4-вектора 𝐴𝐵 в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.

¹) В 1872 г. в своей лекции в ознаменование вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн провозгласил новую точку зрения на геометрию, что оказало решающее влияние на современную геометрию. Ключевой пункт его идеи состоял в проведении различия между геометриями разного рода, исходя из законов преобразования компонент величин. Например, можно с полной ясностью увидеть различие между эвклидовой геометрией и лоренцевой геометрией реального физического мира на основании используемого ныне определения вектора: