Физика пространства - времени

Этим и исчерпывается краткое введение во взаимосвязь между импульсом и энергией. Перейдём теперь к важному вопросу: почему временну'ю компоненту получившегося 4-вектора можно называть энергией? Причины две. Во-первых, потому что эта компонента имеет правильную размерность — она выражается в единицах массы. Во-вторых, и это важнее всего, потому что полная величина этой компоненты сохраняется при всех столкновениях. Доказательство того, что сумма значений 𝐸 для всех частиц подчиняется закону сохранения, базируется на простом соображении: если три компоненты какого-либо 4-вектора сохраняются во всех системах отсчёта, то четвёртая компонента также должна сохраняться (см. табл. 9). Мы знаем, что три (пространственные) компоненты полного импульса физической системы сохраняются во всех системах отсчёта. Поэтому полная временная компонента его тоже сохраняется. Подробности этого доказательства см. ниже.

Формулы преобразования Лоренца для элементов смещения при переходе между лабораторной системой отсчёта и системой ракеты можно записать в виде (37):

𝑑𝑡'

=-

𝑑𝑥 sh θ

_𝑟

+

𝑑𝑡 ch θ

_𝑟

,

𝑑𝑦'

=

𝑑𝑦

,

𝑑𝑥'

=

𝑑𝑥 ch θ

_𝑟

-

𝑑𝑡 sh θ

_𝑟

,

𝑑𝑧'

=

𝑑𝑧

.

Эти равенства не нарушатся, если их разделить с обеих сторон на инвариантный интервал 𝑑τ=𝑑τ' и умножить на инвариантную массу 𝑚:

𝑚

𝑑𝑡'

𝑑τ'

=-

𝑚

𝑑𝑥

𝑑τ

sh θ

_𝑟

+

𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ

ch θ

_𝑟

,

𝑚

𝑑𝑦'

𝑑τ'

=

𝑚

𝑑𝑦

𝑑τ

,

𝑚

𝑑𝑥'

𝑑τ'

=

𝑚

𝑑𝑥

𝑑τ

ch θ

_𝑟

-

𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ

sh θ

_𝑟

,

𝑚

𝑑𝑧'

𝑑τ'

=

𝑚

𝑑𝑧

𝑑τ

,

Но 𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑τ, 𝑚⋅𝑑𝑦/𝑑τ и 𝑚⋅𝑑𝑧/𝑑τ — компоненты релятивистского импульса, а 𝑚⋅𝑑𝑡/𝑑τ — временна'я компонента нового 4-вектора, т.е. та самая величина, которую мы решили назвать «релятивистской энергией 𝐸». Мы пришли, таким образом, к следующим важным соотношениям, связывающим импульс и новую величину 𝐸 в одной системе отсчёта с импульсом и 𝐸' — в другой инерциальной системе отсчёта:

𝐸'

=-

𝑝

^𝑥

sh θ

_𝑟

+

𝐸 ch θ

_𝑟

,

𝑝'

^𝑦

=

𝑝

^𝑦

,

𝑝'

^𝑥

=

𝑝

^𝑥

ch θ

_𝑟

-

𝐸 sh θ

_𝑟

 ,

𝑝'

^𝑧

=

𝑝

^𝑧

.

(78)

Преобразования Лоренца для энергии и импульса

Рассмотрим теперь столкновение двух частиц; пусть 𝑝₁^𝑥 и 𝑝₂^𝑥 будут соответственно 𝑥-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в лабораторной системе отсчёта, а 𝐸₁ и 𝐸₂ — их «релятивистскими энергиями» в этой же системе. Пусть аналогично 𝑝₁'^𝑥 и 𝑝₂'^𝑥 будут 𝑥-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в системе отсчёта ракеты. Для того чтобы записать 𝑥-компоненту полного импульса в системе отсчёта ракеты до столкновения, следует сложить друг с другом два выражения 𝑥-компоненты импульса (для каждой частицы), фигурирующие как второе уравнение в системе (78):

(𝑝₁'

^𝑥

+

𝑝₂'

^𝑥

)

=

(𝑝₁

^𝑥

+

𝑝₂

^𝑥

)

ch



θ

_𝑟

-

(𝐸₁

+

𝐸₂)

sh



θ

_𝑟

.

Таблица 9.

Неизменность импульса в двух системах отсчёта гарантирует неизменность энергии в обеих системах

**

СВЯЗЬ С ОБСУЖДЕНИЕМ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Равенство нулю 𝑥-компоненты вектора в одной системе отсчёта никак не облегчает исследование поведения 𝑡-компоненты этого вектора. Здесь изображены три вектора, обладающие разными абсолютными величинами (и один из них вообще равен нулю), которые все кажутся одинаковыми для исследователя, знающего лишь величину их 𝑥-компонент.

**

Закон сохранения импульса утверждает, что полная сумма импульсов после столкновения равна полной сумме импульсов до столкновения. Или, что то же самое, имеется определённая величина — изменение полного импульса при столкновении, о которой мы знаем, что она равна нулю. Но это ещё не всё. Нам нужна вся информация о полном 4-векторе (равном изменению полного 4-вектора энергии-импульса при столкновении). Рассматривая одну только пространственную компоненту (или, на нашей диаграмме, удостоверившись только в равенстве нулю 𝑥-компоненты этого 4-вектора), мы никак не можем здесь показать, что равна нулю и временная компонента (иначе говоря, что равно нулю изменение энергии).

Взглянуть на этот же вектор из другой системы отсчёта — значит сразу же обнаружить разницу между векторами, казавшимися одинаковыми в прежней системе отсчёта. Допустим, что, как мы знаем, пространственная компонента некоторого 4-вектора равна нулю в двух разных системах отсчёта. Тогда можно быть уверенным, что этот 4-вектор вообще равен нулю (случай, изображённый справа).

**

Равенство нулю пространственной компоненты («импульсной компоненты») определённого 4-вектора (который и есть разность полных 4-векторов энергии-импульса до и после столкновения) в двух различных системах отсчёта гарантирует, что все компоненты этого 4-вектора вообще равны нулю. Значит, из того факта, что импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты, можно заключить, что и энергия сохраняется в обеих системах.