Физика в примерах и задачах

При получении соотношения (9) использовались только законы сохранения. Поэтому вывод о том, что лёгкая частица при упругом столкновении с тяжёлой частицей может передать ей лишь незначительную часть своей кинетической энергии, является универсальным и применим, в частности, к упругим столкновениям электронов с ионами и нейтральными атомами в плазме. Это приводит к интересным особенностям в свойствах плазмы.

Рассмотрим, например, такой опыт: в плазму впрыскивается пучок быстрых электронов. После того как электроны пучка испытают хотя бы по одному столкновению с ионами или атомами, направленный характер движения электронов будет полностью утрачен. Произойдёт полная хаотизация распределения электронов по направлению скорости. Но каждый электрон должен испытать очень много столкновений с тяжёлыми частицами, прежде чем произойдёт выравнивание средних значений кинетических энергий лёгких и тяжёлых частиц. В результате в течение довольно большого промежутка времени электроны и ионы в плазме будут находиться как бы при разных температурах. Хотя электроны и ионы находятся в одном и том же Объёме, полностью перемешаны и всё время сталкиваются друг с другом, они ведут себя как две разные, почти изолированные друг от друга термодинамические системы, между которыми почти нет теплообмена!

23. Столкновение шара с клином.

Шар массы m, летевший горизонтально со скоростью v, после абсолютно упругого удара о наклонную поверхность клина отскакивает вертикально вверх (рис. 23.1). Клин массы M. стоит на гладкой горизонтальной поверхности и после удара скользит по этой поверхности. На какую высоту подскочит шар?

Рис. 23.1. Удар шара о наклонную поверхность клина

Высота h подъёма шара над точкой, в которой происходит удар, определяется вертикальной скоростью v приобретаемой шаром в результате удара;

h

=

v^2

2g

.

Поэтому решение задачи сводится к нахождению этой скорости v.

Рассмотрим сначала предельный случай, когда масса клина много больше массы шара: M>>m. Ясно, что массивный клин практически не сдвинется с места при ударе лёгкого шара, т.е. клин можно считать скреплённым с горизонтальной поверхностью. Чтобы шар действительно отскочил вверх, наклонная грань клина в этом случае должна образовывать угол /4 с горизонтом. Так как по условию удар шара о клин абсолютно упругий, скорость шара изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю: v=v Следовательно, h=v^2/2g.

А что будет, если масса клина сравнима с массой шара?

Попробуем применить законы сохранения импульса и энергии, считая, что при ударе взаимодействие шара с клином и взаимодействие клина с горизонтальной поверхностью происходят мгновенно и одновременно. По условию между клином и поверхностью, на которой он лежит, трение отсутствует. Поэтому проекция закона сохранения импульса на горизонтальное направление записывается в виде

mv

=

MV

,

(1)

где V - горизонтальная составляющая скорости клина после удара. Для того чтобы записать проекцию закона сохранения импульса на вертикальное направление, нужно учесть, что при ударе клин взаимодействует с поверхностью, т.е. с Землёй:

mv

=

(M+M

_з

)V

(2)

В этом выражении V - вертикальная скорость клина и Земли после удара, M_з - масса Земли.

К уравнениям (1) и (2) добавим закон сохранения энергии при упругом ударе:

mv^2

2

=

mv^2

2

+

MV

2

+

(M+M_з)V^2

2

.

(3)

Последним слагаемым в правой части уравнения (3), которое содержит кинетическую энергию Земли, приобретённую в результате удара, можно пренебречь из-за большой массы Земли. Чтобы убедиться в этом, выразим скорость V из уравнения (2) и подставим в (3). Тогда последний член в (3) принимает вид

(M+M_з)V^2

2

=

mv^2

2

+

m

M+M_з

.

(4)

Так как отношение m/(M+M_з)1, то, как видно из (4), передаваемая Земле кинетическая энергия пренебрежимо мала.

Выражая теперь горизонтальную скорость клина V из уравнения (1) и подставляя в уравнение (3), в котором отброшен последний член, находим интересующую нас вертикальную скорость шара после удара v:

v^2

=

v^2

M-m

M

.

(5)

Мы получили ответ, который выглядит вполне благополучно: например, он удовлетворяет предельному случаю закреплённого клина (m) обсуждавшемуся выше. Именно такое решение этой задачи можно встретить во многих руководствах и задачниках.

Но ведь можно рассуждать и иначе. Решая задачу, мы предположили, что происходит только один удар - удар шара о клин, лежащий на Земле. Между тем в столкновении участвуют три тела: шар, клин и Земля. Можно ли на самом деле считать, что происходит один удар, или необходимо последовательно рассмотреть соударение шара с клином и клина с Землёй?

Рис. 23.2. При упругом ударе средний шар остаётся на месте