Физика в примерах и задачах

Первый этап процесса столкновения стержня со стенкой закончится в тот момент, когда весь стержень окажется деформированным, а скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 24.2б). В этот момент кинетическая энергия налетающего стержня целиком превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Сразу после этого начинается второй этап столкновения, при котором стержень возвращается в недеформированное состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, постепенно приближается к преграде. На рис. 24.2в стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже не деформирована и все её частицы имеют скорость v, направленную влево. Заштрихованный участок по-прежнему деформирован, и скорости всех его частиц равны нулю.

Конец второго этапа столкновения наступит в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным, а все частицы стержня приобретут скорость v, направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды: недеформированный стержень отскакивает от стенки и движется в противоположную сторону с прежней по модулю скоростью (рис. 24.2г). Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию.

Из изложенного ясно, что длительность столкновения равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно:

=

2l

u

,

(2)

где l - длина стержня.

Определить скорость звука в стержне u можно следующим образом. Рассмотрим стержень в момент времени t (рис. 24.2а), когда волна деформации распространяется влево. Длина деформированной части стержня в этот момент равна ut. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину vt, равную расстоянию, пройдённому к этому моменту ещё недеформированной частью стержня. Поэтому относительная деформация этой части стержня равна v/u. На основании закона Гука

v

u

=

1

E

F

S

,

(3)

где S - площадь поперечного сечения стержня, F - сила, действующая на стержень со стороны стенки, E - модуль Юнга. Поскольку относительная деформация v/u одинакова во все моменты времени, пока стержень находится в контакте с преградой, то, как видно из формулы (3), сила F постоянна. Для нахождения этой силы применим закон сохранения импульса к остановившейся части стержня. До контакта с преградой рассматриваемая часть стержня имела импульс Sut·v, а в момент времени t её импульс равен нулю. Поэтому

Sut·v

=

Ft

.

(4)

Подставляя отсюда силу F в формулу (3), получаем

u

=

E/

.

(5)

Теперь выражение для времени столкновения стержня со стенкой (2) принимает вид

=

2l

/E

.

(6)

Рис. 24.3. Деформация стержня при ударе о стенку

Время столкновения можно найти и иначе, воспользовавшись для этого законом сохранения энергии. Перед столкновением стержень недеформирован и вся его энергия - это кинетическая энергия поступательного движения mv^2/2. Спустя время /2 с начала столкновения скорости всех его частиц, как мы видели, обращаются в нуль, а весь стержень оказывается деформированным (рис. 24.2б). Длина стержня уменьшилась на величину l по сравнению с его недеформированным состоянием (рис. 24.3). В этот момент вся энергия стержня - это энергия его упругой деформации. Эту энергию можно записать в виде k(l)^2/2, где k - коэффициент пропорциональности между силой и деформацией: F=kl. Этот коэффициент с помощью закона Гука выражается через модуль Юнга E и размеры стержня:

k

=

ES

l

.

(7)

Максимальная деформация l равна тому расстоянию, на которое перемещаются частицы левого конца стержня за время /2 (рис. 24.3). Так как эти частицы двигались со скоростью v, то

l

=

v

2

.

Приравниваем кинетическую энергию стержня до удара и потенциальную энергию деформации. Учитывая, что масса стержня m=Sl, и используя соотношения (7) и (8), получаем

Slv^2

2

=

ES

2l

v

2

^2

,

откуда для снова получаем формулу (6). Это время столкновения обычно очень мало. Например, для стального стержня (E=2·10^1^1 Па, =7,8·10^3 кг/м³) длиной 28 см вычисление по формуле (6) даёт =10^-4 с.

Силу F, действующую на стенку во время удара, можно найти, подставляя скорость звука в стержне (5) в формулу (4):

F

=

Sv

E

.

(9)

Видно, что сила, действующая на стенку, пропорциональна скорости стержня перед ударом. Но для применимости приведённого решения необходимо, чтобы механическое напряжение стержня F/S не превосходило предела упругости материала, из которого изготовлен стержень. Например, для стали предел упругости

(F/S)

_max

=

4·10

⁸

Па.

Поэтому максимальная скорость v стального стержня, при которой его соударение с преградой всё ещё можно считать упругим, оказывается согласно формуле (9) равной 10 м/с. Это соответствует скорости свободного падения тела с высоты всего лишь 5 м. Укажем для сравнения, что скорость звука в стали u=5000 м/с, т.е. v