Физика в примерах и задачах

Время столкновения стержня с неподвижной преградой (в отличие от силы) оказалось не зависящим от скорости стержня. Этот результат, однако, не является универсальным, а связан со специфической формой рассматриваемого тела. Например, для упругого шара время столкновения со стенкой зависит от его скорости. Динамическое рассмотрение этого случая оказывается более сложным. Связано это с тем, что и площадь соприкосновения деформированного шара со стенкой, и действующая на шар сила в процессе столкновения не остаются постоянными.

25. Столкновение двух стержней.

Решение предыдущей задачи можно использовать и для нахождения длительности продольного соударения двух одинаковых упругих стержней.

Рис. 25.1. Столкновение двух одинаковых стержней в системе отсчёта, связанной с центром масс

Рассмотрим, например, случай, когда движущийся со скоростью v стержень налетает на неподвижный. В системе отсчёта, где неподвижен центр масс системы стержней, они движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями v/2 (рис. 25.1). При столкновении общий центр масс стержней находится в том сечении, где они соприкасаются. Так как этот центр масс неподвижен, то для каждого стержня процесс столкновения происходит точно так же, как и при ударе о неподвижную стенку. Картину распространения волн упругой деформации в стержнях и распространения скоростей частиц стержней в разные моменты времени можно получить, если пририсовать к рис. 24.2 предыдущей задачи правую часть, являющуюся его зеркальным отражением в плоскости стенки. Это показано на рис. 25.2. Видно, что после столкновения в системе центра масс стержни будут двигаться в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями v/2, причём деформации в них будут отсутствовать.

Рис. 25.2. Распространение волн упругой деформации и распределение скоростей частиц при столкновении одинаковых стержней в системе центра масс

Для того чтобы получить эту же картину в лабораторной системе отсчёта, необходимо к скоростям всех частиц прибавить скорость центра масс v/2. В результате для тех же моментов времени, что и на рис. 25.2, получается картина, изображённая на рис. 25.3. Как и в случае мгновенного удара, налетающий стержень останавливается, а неподвижный до удара стержень приходит в движение со скоростью v.

Рис. 25.3. То же в лабораторной системе отсчёта

Несколько сложнее обстоит дело в случае продольного соударения двух стержней разной длины. К моменту отскока полностью избавиться от деформации успеет только более короткий стержень. Так как второй стержень начнёт свободное движение после отскока ещё частично деформированным, то дальше в нем будут происходить продольные упругие колебания. Часть механической энергии системы окажется связанной с этими колебаниями. Вследствие внутреннего трения колебания постепенно затухнут, и в результате полная механическая энергия стержней после удара окажется меньше, чем до удара. А между тем удар был абсолютно упругим!

Рассмотрим теперь соударение стержней разной длины более подробно. Пусть, например, стержни изготовлены из одного и того же материала и имеют одинаковое поперечное сечение, но один из них вдвое длиннее другого.

Рис. 25.4. Столкновение стержней разной длины

Процесс соударения этих стержней удобно рассматривать в той системе отсчёта, где они движутся с одинаковыми по модулю скоростями навстречу друг другу (рис. 25.4). Нетрудно сообразить, что начальная стадия столкновения и в этом случае будет происходить точно так же, как и при соударении одинаковых стержней (рис. 25.5а). Действительно, в момент соприкосновения торцов стержней в каждом из них начинает распространяться волна упругой деформации. Те точки стержней, до которых фронт волны деформации ещё не дошёл, ничего «не знают» о том, что уже началось столкновение, и продолжают двигаться так же, как и до начала столкновения. Поэтому различие в длинах стержней начнёт проявляться только тогда, когда волна сжатия достигнет конца короткого стержня (рис. 25.5б). В длинном стержне волна сжатия успеет дойти при этом только до его середины.

Рис. 25.5. Распространение волн упругой деформации и распределение скоростей частиц при столкновении стержней разной длины. Сжатие стержней показано вертикальными штрихами, а растяжение - горизонтальными. Изменение длины стержней при их деформации не показано

Начиная с этого момента, процессы в стержнях будут различаться. Так как при распространении упругих волн взаимодействуют между собой только соседние участки среды, то в длинном стержне волна сжатия и дальше будет продолжать распространяться в том же направлении, а короткий стержень начинает возвращаться в недеформированное состояние (рис. 25.5в). Этот процесс начинается у свободного (левого) конца короткого стержня и постепенно приближается к месту контакта стержней. Все частицы в освободившемся от деформации участке короткого стержня движутся налево с одинаковой скоростью v.