Физика в примерах и задачах

Итак, сама форма ответов не даёт возможности выбрать из них правильный. Соответствие предельным случаям - это необходимое условие правильности ответа, но, разумеется, недостаточное. Можно попробовать поставить дополнительные вопросы, ответ на которые помог бы выбрать правильное решение. Например, здесь можно задать вопрос, какой угол должна составлять наклонная грань клина с горизонтальной, чтобы шар действительно отскочил вертикально вверх.

Построим вектор изменения импульса шара при столкновении q=mv-mv (рис. 23.3). Это изменение импульса вызывается силой, действующей на шар со стороны наклонной грани клина. Поскольку удар упругий и трение отсутствует, то эта сила обязательно направлена перпендикулярно поверхности клина. Теперь из рис. 23.3 сразу видно, что tg =v/v. Так как v=v, то >=/4, где знак равенства соответствует предельному случаю.

Рис. 23.3. К вычислению угла наклона грани клина

Значение v в приведённых двух решениях задачи получилось разным, поэтому разным будет и угол . Однако предельное значение при mобоих случаях одинаково, и мы опять не можем отдать предпочтение одному из ответов.

Так какой же ответ всё-таки правильный? Чтобы разобраться в этом, придётся внимательно проанализировать условия применимости тех допущений, которые были сделаны при решении задачи. Для этого необходимо гораздо глубже вникнуть в механизм энергетических превращений при упругих столкновениях. Поэтому сначала в нескольких следующих задачах будут рассмотрены более простые примеры, а затем мы вернёмся к поставленному вопросу.

24. Длительность удара.

Оценить время упругого удара твёрдых тел, рассматривая столкновение стержня, налетающего торцом на неподвижную недеформируемую стенку (рис. 24.1).

Рис. 24.1. Столкновение стержня со стенкой

В предыдущей задаче мы считали, что упругий удар твёрдых тел происходит мгновенно. Но совершенно очевидно, что это предположение является идеализацией. Столкновение реальных тел всегда занимает конечный промежуток времени . В самом деле, если бы изменение импульса тела при столкновении происходило мгновенно, то сила взаимодействия тел при ударе была бы бесконечно большой, чего, естественно, не бывает. От чего же может зависеть длительность столкновения? Допустим, что мы рассматриваем отражение упругого тела от недеформируемой стенки. При столкновении кинетическая энергия тела в течение первой половины столкновения превращается в потенциальную энергию упругой деформации тела. В течение второй половины происходит обратное превращение энергии деформации в кинетическую энергию отскакивающего тела. Поэтому очевидно, что упругие свойства тела играют определённую роль при столкновении.

Итак, можно ожидать, что длительность удара зависит от модуля Юнга материала тела E, его плотности и его геометрических размеров. Возможно, что длительность удара зависит и от скорости v, с которой тело налетает на преграду.

Нетрудно убедиться, что оценить время столкновения с помощью одних только соображений размерности не удастся. Действительно, если даже взять в качестве налетающего тела шар, размеры которого характеризуются только одним параметром - радиусом R, то из величин E, , R и v можно составить бесчисленное множество выражений, имеющих размерность времени:

=

R

E

1/2

f

v^2

E

,

(1)

где f - произвольная функция безразмерной величины v^2/E. Поэтому для нахождения необходимо динамическое рассмотрение. Проще всего такое рассмотрение провести для тела, имеющего форму длинного стержня.

Пусть стержень, движущийся со скоростью v, налетает торцом на неподвижную стенку. При соприкосновении торцевого сечения стержня со стенкой скорости лежащих в этом сечении частиц стержня мгновенно обращаются в нуль. В следующий момент времени останавливаются частицы, расположенные в соседнем сечении, и т.д. Участок стержня, частицы которого к данному моменту уже остановились, находится в деформированном состоянии. Другими словами, в этот момент времени деформированной оказывается та часть стержня, до которой дошла волна упругой деформации, распространяющаяся по стержню от места контакта с преградой. Эта волна деформации распространяется по стержню со скоростью звука u. Если считать, что стержень пришёл в соприкосновение со стенкой в момент времени t=0, то в момент времени t длина сжатой части стержня равна ut Эта часть стержня на рис. 24.2а заштрихована. В незаштрихованной части стержня скорости всех его частиц по-прежнему равны v, а в сжатой (заштрихованной) части стержня все частицы покоятся.

Рис. 24.2. Распространение волны упругой деформации в стержне при ударе о стенку. Фронт волны деформации движется со скоростью звука u