Физика в примерах и задачах

Видно, что при последовательном соединении пружин запасённая каждой пружиной энергия обратно пропорциональна её жёсткости: чем мягче пружина, тем большая часть энергии деформации пружин сосредоточена в ней. В предельном случае, когда жёсткость одной из пружин стремится к бесконечности (т.е. её можно считать абсолютно твёрдым, недеформируемым телом), вся потенциальная энергия деформации оказывается сосредоточенной в другой пружине.

Рис. 27.2. Качественная модель столкновения шара со стенкой

Процесс столкновения шара с недеформируемой стенкой можно представить себе следующим образом. Сначала шар касается стенки в одной точке, затем по мере деформации шара область контакта увеличивается. А это означает, что испытывающую деформацию часть шара качественно можно рассматривать как упругую пружину, жёсткость которой возрастает с увеличением сжатия. Это условно показано на рис. 27.2. Энергия деформации будет в основном сосредоточена в той части пружины, которая имеет наименьшую жёсткость и испытывает наибольшую деформацию, т.е. в малой части шара, непосредственно примыкающей к стенке.

Описанная выше качественная картина деформации шара означает, что при изучении столкновения упругие свойства шара можно считать сосредоточенными вблизи точки контакта (в пружине на рис. 27.2). Так как масса этой деформируемой части мала по сравнению с массой всего шара, то её деформацию можно считать квазистатической (как у пружины, вовсе лишённой массы), а инертные свойства шара можно рассматривать, считая, что вся масса шара сосредоточена в его центре. В отличие от упругого стержня, для которого нужно было считать, что упругие и инертные свойства равномерно распределены по всему объёму, здесь мы можем с хорошей точностью рассматривать упругий шар как точечную массу, прикреплённую к невесомой пружине с переменной жёсткостью.

Из такой модели сразу становится ясно, что длительность столкновения шара со стенкой зависит от скорости шара перед ударом. При малой скорости деформация мала и затрагивает только участок «пружины» с малой жёсткостью. Период колебаний массивного шара на такой пружине велик, поэтому время столкновения будет большим. Чем больше эта скорость, тем более жёсткие участки «пружины» вступают в работу и тем меньшим оказывается время столкновения.

При столкновении шара со стенкой, как мы видим, длительность определяется совсем другими процессами, чем при столкновении стержня со стенкой. Там эта длительность определялась временем прохождения звука вдоль стержня, а здесь она связана с периодом колебаний шара на пружине переменной жёсткости, причём эта жёсткость мала при небольших скоростях. Поэтому длительность столкновения для шара значительно больше, чем для стержня из того же материала и имеющего длину, равную диаметру шара.

Во всех рассуждениях мы для простоты считали стену недеформируемой. Нетрудно сообразить, что все качественные выводы остаются справедливыми и тогда, когда стена сделана из упругого материала, свойства которого близки к свойствам материала шара. Различие в форме поверхности шара и стенки вблизи точки соприкосновения приводит к тому, что при не слишком большой скорости шара деформируется только шар, а поверхность стенки практически остаётся плоской. Деформация стенки будет существенна только в том случае, когда жёсткость материала стенки (модуль Юнга) значительно меньше жёсткости шара.

Теперь мы можем вернуться к задаче 23 о столкновении шара с клином, лежащим на горизонтальной поверхности, и обсудить вопрос о том, какому из рассмотренных там решений следует отдать предпочтение. Ясно, что единого ответа быть не может: всё зависит от таких свойств участвующих в столкновении тел, о которых ничего не говорится в условии задачи.

Если длительность столкновения шара с клином значительно превышает время распространения волны упругой деформации по клину, то можно считать, что действие шара на клин будет квазистатическим, как если бы на наклонную грань клина действовала постоянная сила. В этом случае правильным является представление об одном ударе - ударе шара с системой, состоящей из клина и поверхности, на которой он лежит. Следовательно, справедливо первое решение задачи. Так будет, например, тогда, когда жёсткость материала клина больше или того же порядка, что и материала шара, а их размеры сравнимы между собой.

Если же жёсткость материала клина значительно меньше, чем шара, то может оказаться, что время распространения волны деформации по клину будет больше, чем длительность соударения шара с клином. В этом случае ближе к действительности будет представление о последовательности двух соударений - шара с клином и клина с подставкой. Однако следует помнить, что в этом случае часть первоначальной кинетической энергии шара может превратиться в энергию упругих колебаний клина.

28. Футбольный мяч.

Сколько времени длится столкновение футбольного мяча со стенкой? С какой силой мяч давит на стенку?