Физика в примерах и задачах

Будем для простоты считать, что мяч летит перпендикулярно поверхности стенки. При ударе о стенку мяч деформируется. При не слишком большой скорости мяча деформации невелики и можно считать, что не касающаяся стенки часть поверхности мяча по-прежнему сферическая, а место соприкосновения становится плоским, как показано на рис. 28.1.

Рис. 28.1. Деформация мяча при столкновении со стенкой

Какие силы действуют на мяч во время удара? До удара действовавшие на мяч силы атмосферного давления уравновешивали друг друга. В процессе удара это уже не так. Действительно, сначала мяч касается стенки в одной точке; затем от этой точки область контакта расширяется в круг. При этом воздух из зазора вытесняется наружу. В результате появляется нескомпенсированная сила давления атмосферного воздуха, направленная к стенке и равная произведению атмосферного давления p на площадь области контакта S (рис. 28.2).

Рис. 28.2. К нахождению сил, действующих на мяч при ударе

Давление воздуха p внутри мяча во время удара можно считать во всех точках одинаковым, как и при статической деформации. Поэтому воздух внутри мяча давит на часть оболочки, соприкасающуюся со стенкой, с силой, равной pS. С такой же по модулю, но противоположно направленной силой действует на эту часть оболочки мяча и стенка.

Рис. 28.3. К определению размера области контакта мяча со стенкой

Итак, полная сила, действующая на мяч при ударе, направлена от стенки и равна (p-p)S. Площадь области контакта мяча со стенкой S легко найти с помощью рис. 28.3. Обозначим радиус мяча через R, радиус круга - области контакта со стенкой - через r, а деформацию мяча через x. Тогда по теореме Пифагора

r

=

R^2-(R-x)^2

=

2Rx-x^2

.

(1)

Поэтому площадь области контакта

S

=

r^2

=

2Rx

1-x

2R

.

(2)

Нужно ли учитывать изменение давления воздуха в мяче при его деформации? Относительное уменьшение объёма мяча V/V оказывается величиной порядка (x/R)^2. Поэтому если мы, считая деформацию мяча x малой по сравнению с его радиусом R (x) будем при вычислении площади S в (2) отбрасывать малое по сравнению с единицей слагаемое x/2R то нужно тем более пренебречь изменением давления, пропорциональным (x/R)^2.

Таким образом, полная сила F, действующая на мяч во время удара, пропорциональна деформации мяча x:

F

=

(p-p)S

=

2R

(p-p)x

=

kx

.

(3)

Движение центра мяча при действии такой силы должно представлять собой гармоническое колебание с частотой, определяемой соотношением

^2

=

k

m

=

2R(p-p)

m

,

(4)

где m - масса мяча. Так как деформация мяча при ударе о стенку может представлять собой только сжатие, которое не сменяется его растяжением (так как мяч просто отскакивает от стенки), то это «колебание» продолжается только в течение половины периода T. Таким образом, длительность удара мяча о стенку

=

T

2

=

=

m

2R(p-p)

.

(5)

Время столкновения футбольного мяча со стенкой тем меньше, чем больше давление воздуха p внутри мяча, но не зависит от скорости мяча перед ударом v. Максимальная сила, с которой мяч действует на стенку, разумеется, зависит от скорости мяча. В момент наибольшей деформации мяча вся его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию деформации:

mv^2

2

=

kx^2

2

.

(6)

Отсюда можно найти максимальную деформацию мяча x:

x

=

m

k

1/2

v

=

m

2 R(p-p)

1/2

v

,

(7)

где k подставлено из соотношения (4).

Приведём числовые оценки. Пусть масса мяча m0,4 кг, радиус R0,15 м, а давление воздуха в мяче превышает атмосферное на одну атмосферу: p-p атм = 1,013·10⁵ Па. Подставляя эти данные в формулу (5), получаем =6,4·10^-3 с. Длительность столкновения оказалась менее сотой доли секунды. Чтобы оценить деформацию мяча при ударе, нужно задать ещё его скорость перед ударом. Считая её равной примерно 15 м/с, с помощью формулы (7) находим, что максимальная деформация x составляет примерно 3 см. Максимальное значение силы, действующей на стенку в момент остановки мяча, равно, в соответствии с формулой (3), 2800 Н.

29. Отражение от стенки.

Под каким углом отскакивает футбольный мяч от стенки?

Задача, разумеется, тривиальная, если считать, что удар абсолютно упругий, а стенка и мяч идеально гладкие. Тогда трение между мячом и поверхностью стенки отсутствует и угол отражения равен углу падения (рис. 29.1).

Рис. 29.1. Отскок мяча от стенки

Совсем иначе обстоит дело, если мяч и стенка шероховатые, так что пренебрегать трением уже нельзя. Однако и в этом случае легко найти угол отражения, если известен коэффициент трения мяча о поверхность стенки.

Будем рассуждать следующим образом. Разложим вектор скорости поступательного движения мяча до удара v на две составляющие: v направленную перпендикулярно поверхности стенки, и v, направленную вдоль поверхности (рис. 29.2). Обозначим соответствующие скорости мяча после отскока через v' и v'. Перпендикулярная составляющая скорости мяча при ударе о стенку меняет своё направление на противоположное, оставаясь неизменной по модулю. Параллельная же составляющая скорости, вообще говоря, изменяется по модулю.

Рис. 29.2. Разложение на составляющие скорости мяча до и после удара