Физика в примерах и задачах

Статика изучает равновесие тел. В инерциальной системе отсчёта твёрдое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю. При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.

Во всех задачах этого раздела рассматриваются сравнительно простые системы, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие

F

_i

=

0

i

сводится к двум скалярным:

F

_ix

=

0

,

i

F

_iy

=

0

,

i

если расположить оси x и y в плоскости действия сил.

Для плоской системы сил моменты всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы (если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости). Поэтому векторное условие для моментов сил сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил равна нулю. (При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки - с противоположным.) Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты. Напомним, что модуль момента силы F относительно точки O равен произведению модуля силы F на расстояние от точки O до линии действия силы.

Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво, если при малых смещениях тела из положения равновесия возникающие при этом силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво, если силы уводят его дальше от положения равновесия. Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное.

Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к её значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобно пользоваться при отыскании положения равновесия и исследовании характера равновесия. Во многих задачах статики, как и в других разделах физики, часто оказывается весьма эффективным использование закона сохранения энергии.

1. Лестница у стенки.

Лестница прислонена к наклонной стенке, образующей угол с вертикально (рис. 1.1). При каком коэффициенте трения лестницы о стенку возможно равновесие даже в том случае, когда пол идеально гладкий?

Рис. 1.1. Лестница у наклонной стенки

Прежде всего отметим, что лестница, прислонённая к вертикальной стенке, вообще не может находиться в равновесии, если нет трения о пол, - она обязательно соскользнёт по стенке. Более того, если как следует подумать, то можно доказать, что верхний конец лестницы при таком соскальзывании обязательно отделится от стенки раньше, чем лестница окажется на полу.

Рис. 1.2. В отсутствие трения о пол такое равновесие невозможно

Невозможность равновесия у вертикальной стенки на гладком полу можно сразу увидеть, если взглянуть на рис. 1.2: нормальная сила реакции стенки N обязательно должна быть отлична от нуля, ибо иначе не будет уравновешен момент силы тяжести mg относительно точки A; но сама сила N может быть уравновешена только горизонтально направленной силой трения о пол.

Рис. 1.3. В равновесии равнодействующая сил N и F_тр направлена вертикально

А вот равновесие у наклонной шероховатой стенки возможно и на идеально гладком полу. Однако для этого коэффициент трения лестницы о стенку должен быть достаточно большим. Посмотрим на рис. 1.3. Поскольку силы mg и N направлены вертикально, то в равновесии горизонтальные составляющие силы N и F_тр должны быть равны:

N

cos

=

F

_тр

sin

.

(1)

Сила трения покоя F_тр максимальна на пороге проскальзывания, когда её значение равно N. Из формулы (1) в этом случае находим

=

ctg

.

(2)

Формула (2) даёт минимальное значение коэффициента трения , при котором возможно равновесие у наклонной стенки с углом в отсутствие трения о пол. При этом лестница как бы цепляется за шероховатую стенку, хотя другим концом она, конечно, давит на гладкий пол.

Кстати, почему мы так уверенно говорим, что соотношение (2) - это и есть условие равновесия? Ведь мы ещё не выяснили, что при этом будут уравновешены и вертикальные составляющие всех действующих сил. Подумайте над этим сами. В конечном счёте всё объясняется тем, что в условие (1) никакие другие силы, кроме N и F_тр не входят.

Обратим внимание на то, что условие равновесия лестницы не зависит ни от того, насколько наклонена сама лестница, ни от того, в каком месте приложена сила тяжести mg и каково её значение. Это означает, что лестница будет в равновесии и в том случае, когда на ней в любом месте стоит человек.