Физика в примерах и задачах

Разбираемая задача помогает лучше понять действие тормозных колодок автомобиля. На рис. 2.3 показано устройство тормозов задних (а) и передних (б) колёс. При нажатии на педаль тормоза возрастает давление в тормозных цилиндрах C и колодки A и B прижимаются к внутренним поверхностям тормозного барабана, вращающегося вместе с колесом. Легко понять, что поведение колодки B у задних колёс аналогично первому случаю разобранной задачи, поведение колодки A - второму случаю. Сила трения, действующая на тормозной барабан со стороны колодки A, больше, чем со стороны колодки B, хотя внешнее прижимающее усилие одинаково для обеих колодок. Колодка A обладает «самотормозящим» действием. Небольшое изменение конструкции тормоза, показанное на рис. 2.3 б, приводит к тому, что уже обе колодки обладают самотормозящим действием. Именно так устроены тормоза передних колёс. А как вы думаете, почему передние колеса нужно тормозить сильнее задних?

3. Равновесие в чашке.

Гладкий однородный стержень длины 2L опирается на край гладкой неподвижной полусферической чашки радиуса R (рис. 3.1). Какой угол образует стержень с горизонтом в положении равновесия? Трением пренебречь.

Рис. 3.1. Стержень находится в гладкой полусферической чашке

На стержень действуют три силы: сила тяжести mg, приложенная в середине стержня, и силы реакции чашки N и N. Так как трение отсутствует, сила N, действующая на конец стержня, упирающийся в чашку, направлена перпендикулярно поверхности чашки, т.е. по радиусу; сила N приложена к стержню со стороны края чашки и направлена перпендикулярно стержню (рис. 3.2). Попробуйте объяснить сами, почему.

Рис. 3.2. Силы, действующие на стержень в положении равновесия

Если стержень находится в положении равновесия, то линии, по которым действуют эти три силы, пересекаются в одной точке (точке A). Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия каких-либо двух сил, например N и N, и составим условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно этой точки. Моменты сил N и N относительно точки пересечения их направлений равны нулю, поэтому и момент третьей силы mg также должен быть равен нулю, т.е. линия действия силы mg проходит через эту же точку. Этого факта достаточно для нахождения положения равновесия стержня. Из элементарных геометрических соображений легко найти все углы, указанные на рис. 3.2.

Теперь можно составить уравнение для какой-нибудь тригонометрической функции искомого угла . Находя из прямоугольного треугольника ABC хорду BC=2R cos и учитывая, что точка приложения силы тяжести лежит посредине стержня, получаем

x

=

2R cos

-

L

.

(1)

Далее, рассматривая радиус OC как сумму двух отрезков, на которые его делит линия действия силы тяжести mg, находим

R

=

R sin (/2-2)

+

x cos

.

(2)

Подставляя (1) в (2), получаем после простых преобразований квадратное уравнение для cos :

4R cos^2

-

L cos

-

2R

=

0.

(3)

Поскольку угол лежит в первой четверти, физический смысл имеет только один корень уравнения (3), ибо второй корень отрицателен:

cos

=

L+L^2+32R^2

8R

.

(4)

Так как cos не превышает единицы, то

L+

L^2+32R^2

=

8R

,

откуда

L

=

2R

.

Смысл этого условия очевиден: если длина стержня 2L превышает удвоенный диаметр чашки, то центр тяжести стержня выходит за край чашки и стержень вываливается из неё. Если L=2R стержень расположен горизонтально (=0) и опирается на чашку в одной точке L.

Если стержень слишком короткий, то он соскользнёт внутрь чашки. Найдём минимальную длину стержня, при которой ещё возможно описанное в условии равновесие, т.е. стержень ещё опирается на край чашки своим правым концом (x=L):

2R

cos

=

2L

.

(5)

Предельный угол при котором стержень ещё не соскальзывает внутрь чашки, одновременно с (5) должен удовлетворять также условию равновесия (4). Подставляя (4) в (5), находим для минимальной длины стержня:

L

=

R

2/3

.

Соответствующий этой минимальной длине стержня предельный угол удовлетворяет условию

cos

=

2/3

.

Итак, если длина стержня удовлетворяет условию

R

2/3

L

2R

,

то равновесие возможно, и угол при равновесии определяется формулой (4). Более детальным исследованием можно показать, что это равновесие устойчиво, если, разумеется, в точке A стержень не опирается о чашку точно своим концом.

Легко сообразить, что если стержень короче диаметра чашки (LR), то существует другое положение устойчивого равновесия, когда стержень лежит горизонтально внутри чашки.

4. Маятник с трением.

К нижнему концу лёгкого стержня длины l прикреплён груз массы m, а к верхнему концу - лёгкая цилиндрическая втулка с внутренним радиусом R. Втулка надета с зазором на неподвижную круглую горизонтальную ось (рис. 4.1). При каких значениях угла отклонения от вертикали этот маятник может находиться в равновесии, если коэффициент трения между внутренней поверхностью втулки и осью равен ?

Рис. 4.1. Втулка маятника надета на неподвижную ось