Физика в примерах и задачах

Для нахождения границ области равновесия рассмотрим силы, действующие на блок. Так как трение между грузами и плоскостями отсутствует, то при равновесии сила натяжения нити слева от блока равна mg sin , а справа mg cos . Именно с такими силами нить и действует на блок, как показано на рис. 5.2. Отметим сразу же, что горизонтальные составляющие этих сил но модулю равны mg sin cos (посмотрите внимательно на рис. 5.2) и уравновешивают друг друга. Поэтому векторная сумма сил натяжения нити, действующих на блок, направлена вертикально вниз. Модуль этой равнодействующей силы равен, как видно из того же рис. 5.2,

mg sin^2

+

mg cos^2

=

mg

.

Кроме сил натяжения нитей, на блок действует сила реакции оси Q, которую, как обычно, удобно представить в виде векторной суммы нормальной силы реакции N и силы трения F_тр направленной по касательной к внутренней поверхности блока. Обе эти силы приложены в точке A, где блок соприкасается с осью (рис. 5.3). Будем для определённости считать, что угол /4; тогда сила трения F_тр при равновесии системы направлена вправо. Модуль силы трения покоя может изменяться от нуля (при =/4) до максимального значения, которое мы будем считать равным N. Это максимальное значение сила трения будет принимать при угле , соответствующем границе интересующей нас области, где возможно равновесие.

Рис. 5.3. Силы N и F_тр действуют на блок в точке A, где блок соприкасается с осью

Положение точки A касания блока с осью будем характеризовать углом (рис. 5.3), который образует с вертикалью радиус, проведённый в точку касания. Этот угол можно найти, учитывая, что сила Q уравновешивает векторную сумму действующих на блок сил натяжения нити, т.е. равна mg и направлена вертикально вверх. Приравнивая модули горизонтальных составляющих сил N и F_тр, имеем

N

sin

=

N

cos

,

(1)

откуда

tg

=

.

(2)

Обратим внимание, что соотношение (2) совпадает с условием равновесия тела на наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Как по-вашему, это случайное совпадение или ему можно придать определённый физический смысл?

Теперь легко найти действующую на блок силу трения. Так как модуль силы Q равен mg, то, как видно из рис. 5.3,

F

_тр

=

mg

sin

.

(3)

Выражая синус угла через тангенс и учитывая соотношение (2), выражение для силы трения можно переписать в виде

F

_тр

=

mg

1+^2

.

(4)

Для нахождения предельного угла , при котором ещё возможно равновесие системы, напишем условие уравновешивания моментов сил, действующих на блок. Так как плечи сил натяжения нити относительно точки O равны внешнему радиусу блока R, а плечо силы трения равно внутреннему радиусу блока r (рис. 5.3), то

mg

(sin -cos )

R

=

F

_тр

r

.

(5)

Подставляя в уравнение (5) значение силы трения из (4) и возводя обе части этого уравнения в квадрат, после простых преобразований находим

sin 2

=

1-

r

R

^2

^2

1+^2

.

(6)

При =0, что соответствует отсутствию трения в оси, формула (6) даёт sin 2=1, т.е. =/4. При /=0 правая часть в выражении (6)меньше единицы, поэтому уравнение (6) для имеет в промежутке от 0 до /2 два корня и , расположенных симметрично относительно значения =/4 (рис. 5.4). Корень меньший /4, появился как лишний при возведении уравнения (5) в квадрат. Однако, несмотря на столь «незаконное» появление, он имеет физический смысл, определяя вместе с всю область значений углов , в которой система может находиться в равновесии. Подумайте сами, почему так получается.

Рис. 5.4. Область углов , при которых возможно равновесие, ограничена значениями и

Могло бы показаться, что при rR эта задача соответствует случаю, когда грузы соединены нитью, перекинутой через неподвижный цилиндр, причём коэффициент трения нити о поверхность цилиндра равен . Однако это не так. Всё дело в том, что в рассматриваемой задаче касание внутреннего цилиндра происходит только в одной точке A, в то время как гибкая нить прилегает к цилиндру по всей дуге. Этот случай будет рассмотрен в задаче 8.

6. Устойчиво ли равновесие?

Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. На рис. 6.1 изображено сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Как расположена доска? Устойчиво ли её равновесие?

Рис. 6.1. Силы, действующие на доску в двугранном угле с гладкими стенками

Поскольку трение отсутствует, то на доску действуют три силы: сила тяжести P и две силы реакции опор N и N, направленные перпендикулярно граням угла. Как уже было выяснено в задаче 3, в положении равновесия под действием только трёх сил линии их действия пересекаются в одной точке (рис. 6.1). Из этого рисунка легко видеть, как можно построением найти положение доски в равновесии. Проводим вертикаль через вершину угла и откладываем на ней от вершины отрезок, равный длине доски. Из конца этого отрезка опускаем перпендикуляры на грани угла. Положение доски в равновесии совпадает со второй диагональю получившегося прямоугольника. Нетрудно убедиться, что угол, который образует доска с одной из граней угла, равен углу , образуемому другой гранью угла с горизонтом.