Физика в примерах и задачах

Рис. 8.1. На элемент каната l со стороны соседних участков действуют силы, равные по модулю T и T+T

Рис. 8.2. К вычислению нормальной силы реакции N

Огромный выигрыш в силе достигается здесь благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент l витка каната на тумбе, характеризуемый углом (рис. 8.1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения, равные T и T+T и направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие модулей этих сил T обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения F_тр. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу l силой реакции тумбы N. Как видно из построения на рис. 8.2, в котором учтено, что для малого элемента витка l отношение T/T1, модуль силы N приближённо равен

N

T

.

(1)

Модуль силы трения скольжения F_тр связан с модулем нормальной силы реакции N, как обычно, соотношением

F

_тр

=

N

.

(2)

Подставляя сюда N из формулы (1) и учитывая, что

F

_тр

=

T

,

получаем

T

=

T

.

(3)

Будем теперь рассматривать силу натяжения каната T как функцию угла . Тогда, переходя в выражении (3) к пределу при ->0 и учитывая, что предел отношения T/ при ->0 есть T' - производная от функции T по , получим дифференциальное уравнение

T'

=

T

.

(4)

Такое уравнение, в котором производная от искомой функции пропорциональна самой функции, как известно из школьного курса математики, имеет решение

T

=

Ce

.

(5)

Как видно из самого решения, постоянная C имеет смысл силы натяжения каната T при =0, т.е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому

T

=

T

e

.

(6)

Из этого выражения видно, что отношение силы натяжения T на одном конце каната (т.е. при =,) к силе натяжения T на другом конце, равное e не зависит ни от диаметра, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения и числом оборотов n=/2.

Экспоненциальная функция

e

=

e

²ⁿ

растёт очень быстро. При целых n это просто геометрическая прогрессия со знаменателем e² Например, даже при , равном всего 0,1, после одного оборота (n=1) сила натяжения каната возрастает в e²e^0,631,87 раза, а после трёх оборотов - в e^2·36,55 раза.

Следует отметить, что описанный способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от простых механизмов, таких как рычаг, ворот, тали и т. п. Поэтому таким способом можно только останавливать или удерживать корабль, но нельзя, например, подтягивать его к берегу. Однако если привести тумбу во вращение с помощью двигателя, то описанным способом можно подтягивать корабль к берегу. Лебёдки, в которых используется этот принцип (кабестаны), широко распространены во флоте.

IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

Основной закон гидростатики - это закон Паскаля, согласно которому в состоянии равновесия давление p в жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Если несжимаемая жидкость находится в однородном поле тяжести, то гидростатическое давление на глубине h равно gh где - плотность жидкости. Наличие обусловленного полем тяжести гидростатического давления приводит к тому, что на погружённое в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила. Эта сила направлена вертикально вверх, а её модуль равен весу жидкости, объём которой совпадает с объёмом погружённой в жидкость части тела. В этом заключается закон Архимеда.

При стационарном движении жидкости, когда линии тока не меняются со временем и совпадают с траекториями частиц жидкости, через любое поперечное сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости. Для несжимаемой жидкости это условие выражается уравнением неразрывности:

vS

=

vS

,

(1)

где S и S - площади сечений, а v и v - скорости жидкости в этих сечениях.

Если при движении жидкости можно пренебречь силами вязкости, то такую жидкость называют идеальной. Для идеальной жидкости выполняется закон сохранения механической энергии. Математическим выражением этого закона является уравнение Бернулли:

p

+

gh

+

v^2

2

=

const.

(2)

Сумма слагаемых, фигурирующих в левой части уравнения, имеет одно и то же значение вдоль линии тока. Высота h в любой точке отсчитывается от одного уровня, условно принятого за нулевой.

При движении твёрдого тела в жидкости (или газе) на тело действует сила сопротивления. Эта сила зависит от многих параметров, таких, как скорость движения, размеры и форма тела, плотность жидкости, её вязкость. Относительная роль этих параметров меняется в зависимости от скорости движения тела в жидкости. При небольших скоростях эта сила обусловлена в основном вязкостью жидкости. В этом случае сила сопротивления пропорциональна скорости тела.

1. Перевёрнутая воронка.