Физика в примерах и задачах

В боковой стенке широкого сосуда имеется отверстие, закрытое пробкой (рис. 4.1). Найти реактивную силу, которая будет стремиться сдвинуть сосуд с места, если вынуть пробку. Площадь сечения отверстия равна S, а высота уровня воды над отверстием равна h.

Рис. 4.1. Сосуд с отверстием в боковой стенке

Пока отверстие сосуда закрыто пробкой, сила, стремящаяся вытолкнуть пробку, определяется гидростатическим давлением столба воды высотой h и равна ghS.

Если пробку удалить из отверстия, то можно думать, что силы давления воды на стенки сосуда будут взаимно уравновешиваться всюду, за исключением участка, лежащего точно напротив пробки и имеющего ту же площадь S, что и отверстие. Поэтому, казалось бы, реактивная сила, стремящаяся сдвинуть сосуд, должна быть такой же, как и сила гидростатического давления на этот участок, т.е.

F

=

ghS

.

(1)

Однако такой вывод был бы слишком поспешным. Ведь всё-таки здесь мы имеем дело с движущейся жидкостью, вытекающей струёй из отверстия, и совершенно не очевидно, что всё можно объяснить гидростатическими закономерностями. И действительно, попробовав провести динамическое рассмотрение, мы получим для реактивной силы другой результат. При динамическом подходе действующую на сосуд реактивную силу нужно приравнять импульсу, уносимому вытекающей струёй воды за единицу времени. Вычислим эту силу.

Рис. 4.2. Объём освобождающейся части сосуда равен объёму вытекающей жидкости

Будем считать, что скорость истечения воды одинакова по всему сечению отверстия. Если воду в сосуде можно считать идеальной жидкостью, то это действительно так и скорость можно найти с помощью закона сохранения механической энергии. В начальном состоянии вода в сосуде неподвижна и её уровень находится на высоте h над отверстием. Спустя небольшой промежуток времени уровень воды в сосуде немного понизится, так как часть жидкости выйдет из отверстия в виде струи со скоростью v (рис. 4.2). Так как жидкость несжимаема, то объём освободившейся части сосуда V равен объёму вытекшей жидкости. Если сосуд достаточно широкий, то можно считать, что уровень воды в сосуде опускается почти с пулевой скоростью. В этом случае закон сохранения энергии записывается в виде

Vgh

=

Vv^2

2

(2)

откуда

v^2

=

2gh

.

Эта формула была установлена Торричелли.

Теперь можно найти импульс, уносимый водой в единицу времени. Так как масса воды, вытекающей за единицу времени, равна Sv, то уносимый этой массой импульс равен Sv^2. Подставляя сюда найденное значение скорости струи, получаем выражение для реактивной силы

F

=

2ghS

.

(3)

Найденная из динамического рассмотрения реактивная сила (3) оказывается вдвое больше, чем гидростатическая сила давления на пробку (1).

Какому же результату следует отдать предпочтение? Поскольку при динамическом рассмотрении мы опирались на фундаментальные законы сохранения энергии и импульса, то такой подход является более строгим. И тем не менее результат справедлив далеко не всегда. Бывают случаи, когда правилен как раз ответ (1).

Рис. 4.3. Сжатие струи в трубке, вставленной в сосуд

Всё дело здесь в форме струи жидкости, вытекающей из отверстия. Естественно, что эта форма зависит от конструкции отверстия и площадь сечения струи не всегда совпадает с площадью самого отверстия. Например, в случае, показанном на рис. 4.3, где цилиндрическая трубка вставлена внутрь сосуда, частицы жидкости вблизи краёв трубки имеют скорости в поперечных направлениях, что приводит к сжатию струи в таком отверстии. Всюду вблизи стенок сосуда скорость движения жидкости в этом случае пренебрежимо мала и давление на стенки сосуда везде равно гидростатическому. Но это как раз и означает, что для реактивной силы при истечении из такого отверстия справедлив результат (1).

Никакого противоречия с динамическим рассмотрением здесь, разумеется, нет. Поскольку струя в отверстии сжимается, то в формуле (3) под S надо понимать не площадь отверстия, а площадь сечения струи, которая для отверстия такой конструкции будет в два раза меньше площади самого отверстия. Подчеркнём, что площадь сечения струи в формуле (3) нужно выбирать в том месте, где струя уже сформировалась и скорости всех частиц жидкости одинаковы по модулю и направлению. Только для такого сечения струи и можно применять законы сохранения энергии и импульса в том виде, в каком они записаны в соотношениях (2) и (3).

Рис. 4.4. В трубке такой формы сжатия струи не происходит

А вот для конструкции отверстия, показанной на рис. 4.4, справедлив результат, выражаемый формулой (3), в которой S равна площади отверстия. В самом деле, линии тока в отверстии перед истечением постепенно меняют направление на параллельное оси трубки. В результате площадь сечения вытекающей струи равна площади отверстия трубки и сжатия струи не происходит. Неприменимость гидростатического рассмотрения в этом случае связана с тем, что скорость жидкости у боковой стенки вблизи входа в трубку не равна нулю.