Физика в примерах и задачах

Перевёрнутая тяжёлая коническая воронка поставлена на ровную горизонтальную поверхность, покрытую листовой резиной (рис. 1.1). Узкое отверстие воронки заканчивается тонкой трубкой, через которую внутрь воронки можно наливать воду. Оказалось, что вода начинает вытекать из-под воронки, когда высота уровня воды в трубке становится равной h. Определить массу воронки m, если площадь сечения её широкого отверстия равна S, а высота воронки равна H.

Рис. 1.1. При высоте уровня h вода начинает вытекать из-под воронки

Прежде всего подумаем, почему вода вообще может вытекать из-под воронки. Ведь воронка плотно стоит на резине и никаких щелей там нет. Чтобы вода начала вытекать, воронка должна приподняться. Какая же сила её приподнимает? Дело в том, что силы давления воды в каждой точке поверхности воронки направлены по нормали к ней и поэтому имеют вертикальную составляющую. Результирующая этих сил, как ясно из симметрии воронки, направлена вертикально вверх. При некотором уровне воды в трубке эта результирующая сила давления может оказаться достаточной для того, чтобы приподнять воронку.

Непосредственное вычисление силы давления требует применения интегрирования. Во-первых, давление воды будет разным для разных горизонтальных слоёв, на которые можно разбить поверхность воронки; во-вторых, будут разными площади этих слоёв. Поэтому удобнее не вычислять эту силу «в лоб», а воспользоваться другими соображениями, основанными на особенностях гидростатического давления жидкости.

Представим себе, что воронка вместе с налитой в неё водой стоит на весах. Очевидно, что показания весов определяются суммой масс воронки и налитой в неё через трубку воды. В тот момент, когда вода начинает вытекать из-под воронки, нижний край воронки перестаёт давить на подставку. А это значит, что в этот момент вся сила, действующая на чашку весов, - это сила давления столба воды высотой h на площадь S. Итак, в момент отрыва

mg

+

gV

=

ghS

,

(1)

где - плотность воды, а V - объём воды в воронке и трубке.

Если трубка тонкая, то объёмом заполненной водой части трубки можно пренебречь по сравнению с объёмом самой воронки. В этом случае V=HS/3, и из уравнения (1) находим

m

=

S

(h-H/3)

(2)

Из формулы (2) видно, между прочим, что воронка довольно тяжёлая: её масса более чем вдвое превышает массу воды в объёме воронки. Если бы воронка имела массу, меньшую чем 2SH/3, то при наливании воды через трубку воронка оторвалась бы от подставки ещё до того, как вода заполнила всю воронку.

Рис. 1.2. Задачу можно решить также и для воронки более сложной формы

Использованный здесь приём позволяет обойтись без непосредственного вычисления силы давления жидкости на поверхность тела и может оказаться полезным при решении других гидростатических задач, особенно в тех случаях, когда тело имеет поверхность сложной формы. Уравнение (1) остаётся справедливым и в том случае, когда воронка имеет более сложную форму, например, такую, как на рис. 1.2. Для нахождения массы воронки нужно только знать объём её внутренней части.

2. Плавающие шары.

Два шара одинакового размера, один лёгкий, а другой тяжёлый, прикреплены к тонкому стержню, причём тяжёлый к середине стержня, а лёгкий к одному из его концов. При погружении в воду в неглубоком месте свободный конец стержня опирается о дно, стержень располагается наклонно и из воды выступает только часть лёгкого шара, причём отношение объёма выступающей части к объёму всего шара равно n (рис. 2.1). Будет ли эта система плавать или она утонет, если её опустить в воду на глубоком месте? Массу стержня считать пренебрежимо малой.

Рис. 2.1. Погружённый в воду стержень с шарами опирается о дно

При первом чтении условия задачи может показаться, что приведённых данных недостаточно для ответа на поставленный вопрос: ведь не указаны ни объём, ни масса шаров, которые необходимы для нахождения соотношения между силой тяжести и выталкивающими силами. Однако это впечатление обманчиво. Всё, что нужно для решения задачи, в условии задано, и остаётся только сообразить, как этим воспользоваться.

Поведение системы на глубокой воде определяется тем, что больше: действующие на шары силы тяжести или выталкивающие силы, одинаковые для лёгкого и тяжёлого шаров. Это можно выяснить, рассматривая описанное в условии задачи равновесие стержня с шарами на мелководье.

Рис. 2.2. Равновесие системы на мелкой воде

На рис. 2.2 показаны действующие на систему силы. Через F обозначена выталкивающая сила, действующая на полностью погружённый шар. Так как лёгкий шар погружён в воду частично, то действующая на него выталкивающая сила, пропорциональная объёму его погружённой части, равна F(1-n). Поскольку силы тяжести mg и mg и обе выталкивающие силы направлены по вертикали, то и действующая на конец стержня сила реакции дна Q также направлена вертикально. Рассматривая уравнение моментов сил относительно центра тяжёлого шара, получаем для силы реакции дна выражение

Q

=

F

(1-n)

-

mg

.