Физика в примерах и задачах

Рис. 6.2. Перемещение центра тяжести при изменении положения доски

В устойчивом положении равновесия потенциальная энергия минимальна, в неустойчивом - максимальна. Поэтому для выяснения характера равновесия достаточно рассмотреть, как изменяется высота центра тяжести доски при малых смещениях её из положения равновесия. Если перемещать доску так, чтобы концы её скользили по граням угла, то её центр тяжести перемещается по дуге окружности, центр которой совпадает с вершиной угла, а радиус равен половине длины доски (рис. 6.2). В самом деле, как видно из этого рисунка, расстояние от вершины угла до центра тяжести доски не зависит от положения доски и равно половине её длины.

В положении равновесия радиус, соединяющий вершину угла с центром тяжести доски, расположен вертикально, поэтому при смещении доски её потенциальная энергия убывает. Равновесие неустойчиво. Случайно отклонившись, доска соскользнёт на одну из граней угла.

7. Брёвна в кузове.

Грузовик загружен одинаковыми гладкими брёвнами. Заехав в кювет, он накренился на один борт, так что дно кузова образовало с горизонтом угол . Кузов разгрузили, и в нем осталось только три бревна (рис. 7.1). С какой силой F нужно подпереть крайнее бревно 3, чтобы брёвна не раскатились? Трением пренебречь.

Рис. 7.1. Брёвна в наклонном кузове

Положение брёвен, указанное на рис. 7.1, возможно только, если угол 30°. В противном случае направление силы тяжести верхнего бревна 2 пройдёт левее точки опоры о нижнее бревно 1 и бревно 2 скатится на борт.

При решении этой задачи попытаемся избежать утомительного рассмотрения всех действующих сил и воспользуемся законом сохранения энергии. Если система брёвен находится в равновесии, то работа внешней силы F при мысленном бесконечно малом медленном перемещении крайнего бревна 3 определяет изменение потенциальной энергии брёвен, так как трение отсутствует, а нормальные силы реакции работы не совершают.

«Геометрия» перемещения брёвен показана на рис. 7.2а, который для удобства повёрнут на угол по часовой стрелке. На такой же угол поворачивается направление силы тяжести.

Рис. 7.2. Перемещение центров брёвен при их раскатывании

Треугольники на рис. 7.2б соединяют центры брёвен до и после перемещения. До перемещения треугольник был равносторонним со стороной, равной диаметру брёвен a. После перемещения брёвен треугольник становится равнобедренным, боковые стороны его по-прежнему равны a, основание увеличивается на 2x, а высота изменяется на y. В самом деле, бревно 1 лежит на месте, бревно 3 перемещается на 2x вдоль дна кузова, а бревно 3 перемещается на x вдоль дна и на y перпендикулярно дну.

Учитывая, что направление силы тяжести составляет угол с осью y (рис. 7.2а), изменение потенциальной энергии брёвен можно записать в виде

E

_п

=

mg

cos ·

y

+

mg

sin ·

x

+

mg

sin ·2

x

.

Первые два слагаемых дают изменение потенциальной энергии бревна 2, а третье слагаемое - бревна 3. При таком перемещении внешняя сила F совершает работу A=-F·2x. На основании закона сохранения энергии имеем

-F·2

x

=

mg

cos ·

y

+

mg

sin ·3

x

.

(1)

Для нахождения силы F нужно найти связь между перемещениями x и y. Проще всего это сделать, выразив их через изменение угла . В системе координат, показанной на рис. 7.2а, координаты вершин треугольника до перемещения брёвен равны

x

=

a cos

,

y

=

a sin

.

(2)

После перемещения

x

+

x

=

a

cos(+

)

,

y

+

y

=

a

sin(+

)

.

(3)

Используя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и учитывая, что при малых значения cos 1, sin , с помощью выражений (2) и (3) находим

x

=-

a sin ·

,

y

=

a cos ·

.

(4)

Подставляя (4) в соотношение (I), получаем выражение для силы F;

F

=

mg

2

(

cos ctg

-

3 sin

).

Угол а здесь следует положить равным 60°, так как нужно определить силу F, не позволяющую брёвнам раскатываться. Поэтому

F

=

mg

2

1

3

cos

-

3 sin

.

(5)

Проанализируем полученный ответ. Если угол наклона кузова лежит в интервале 0arctg(1/33), то сила F0, т.е. брёвна действительно нужно удерживать: если силу F убрать, то брёвна раскатятся. При =arctg(1/33) сила F обращается в нуль. При таком угле брёвна не раскатятся, даже если их не подпирать. Если 30°, то сила F согласно формуле (5) отрицательна. Это означает, что брёвна не раскатятся, даже если бревно 3 вытягивать вдоль дна кузова с силой, меньшей |F|. Таким образом, представляет собой наименьший угол, при котором брёвна не раскатываются в отсутствие удерживающей силы F.

8. Канат на тумбе.

При причаливании к пристани можно остановить движение даже очень большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточным приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал огромный пароход. Рассчитать, во сколько раз действующая на пароход со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен .