Физика в примерах и задачах

Совершенно очевидно, что в отсутствие трения между осью и втулкой маятник может находиться в равновесии только в вертикальном положении. А вот при наличии трения в оси равновесие маятника возможно в любом отклонённом от вертикали положении в пределах некоторого небольшого сектора - так называемой области застоя.

Рис. 4.2. Сила реакции оси N сила трения F_тр действуют на втулку маятника в точке её соприкосновения с осью

Рассмотрим, каким образом действующие на маятник силы могут обеспечить его равновесие в отклонённом от вертикали положении. На маятник действуют всего три силы: на груз, прикреплённый к нижнему концу, действует сила тяжести mg, а на втулку со стороны оси в точке их соприкосновения действуют нормальная сила реакции оси N направленная по радиусу, и сила трения F_тр, направленная по касательной (рис. 4.2). Довольно очевидно, что точка A, где соприкасаются ось и втулка, смещена из верхнего положения в ту же сторону, куда отклонён маятник, но её точное положение заранее не известно. Для того чтобы правильно изобразить силы N и F_тр на чертеже, нужно сообразить, где именно находится точка соприкосновения втулки и оси.

Рис. 4.3. Центр масс груза лежит на вертикали, проходящей через точку соприкосновения втулки с осью

Это легко сделать, если вспомнить следствие, вытекающее из уравнения моментов: при равновесии тела под действием трёх сил линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке. Тогда сразу становится ясно, что точка A лежит на пересечении вертикали, проходящей через центр масс груза, с внутренней поверхностью втулки (рис. 4.3). А это, в свою очередь, означает, что даже при сколь угодно большом коэффициенте трения в оси невозможно равновесие маятника, если центр масс груза m смещен вправо или влево на расстояние, большее радиуса втулки R.

Максимальному отклонению маятника от вертикали соответствует наибольшее возможное значение силы трения покоя. Считая это наибольшее значение равным силе трения скольжения, получим, что в равновесии при максимально допустимом отклонении от вертикали

F

_тр

=

N

.

(1)

Так как в равновесии векторная сумма F_тр и N направлена вертикально вверх (рис. 4.3), то

tg

=

F_тр

N

=

.

(2)

Теперь легко найти угол , соответствующий максимальному отклонению маятника. Для этого выразим отрезок OB (рис. 4.3) через углы и :

(l+R)

sin

=

R

sin

,

откуда, учитывая соотношение (2), находим

sin

=

R

l+R

1+^2

.

(3)

Обратите внимание, что предельный угол определяется только значением коэффициента трения и размерами стержня и втулки и не зависит от массы груза.

Полученный ответ удовлетворяет упоминавшимся выше предельным случаям. При ->0 предельный угол также стремится к нулю, т.е. в отсутствие трения равновесие возможно только при вертикальном положении маятника. При -> множитель 1+^2 стремится к единице, и формула (3) принимает вид

(l+R)

sin

=

R

.

(4)

Отсюда видно, что при -> максимально возможное отклонение груза вправо OB стремится к R.

Если отклонить маятник на угол больше предельного и отпустить, то, совершив несколько колебаний с убывающей амплитудой, маятник остановится где-то внутри области застоя. Остановка маятника может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий.

Интересно отметить, что при наличии трения в оси маятник может находиться в равновесии и в перевёрнутом положении, когда груз m расположен выше оси. В отсутствие трения равновесие перевёрнутого маятника возможно только при строго вертикальном положении и является неустойчивым. Рассмотрите равновесие перевёрнутого маятника самостоятельно и убедитесь, что предельно допустимый угол отклонения от вертикали даётся тем же выражением (3).

5. Блок с трением в оси.

Рис. 5.1. Равновесие блока с трением в оси

В системе, показанной на рис. 5.1, лёгкий блок с внешним радиусом R и внутренним радиусом r надет на неподвижную цилиндрическую ось. Коэффициент трения блока о поверхность оси равен . При каких углах эта система может находиться в равновесии, если трение между грузами и наклонными плоскостями отсутствует?

Очевидно, что при отсутствии трения в оси блока силы натяжения соединяющей грузы нити одинаковы по обе стороны от блока, и поэтому такая система может находиться в равновесии только тогда, когда она строго симметрична, т.е. угол равен .

Если же в оси блока есть сухое трение, то силы натяжения нити справа и слева от блока могут быть различны и существует целая область значений угла вблизи /4, в пределах которой возможно равновесие. При этом мы, разумеется, считаем, что между нитью и блоком трение велико, так что нить не может проскальзывать.

Рис. 5.2. Силы, действующие на блок со стороны нити