Физика в примерах и задачах

И последнее. Условие (2), как легко видеть, совпадает с хорошо известным условием равновесия тела на наклонной плоскости. Наклонённую на угол стенку можно рассматривать как плоскость, которая образует угол =/2- с горизонтом, и условие (2) записывается в виде =tg Как по-вашему, это просто совпадение или в этом есть определённый физический смысл?

2. Заклинивание.

Посмотрите на рис. 2.1. Опирающаяся на доску тяжёлая балка может поворачиваться в шарнире A вокруг горизонтальной оси. Какую горизонтальную силу нужно приложить к доске, чтобы выдернуть её влево? вправо? Известны все величины, указанные на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Тяжёлая балка шарнирно закреплена в точке A

Рассмотрим прежде всего действующие силы.

На балку действуют сила тяжести mg, нормальная сила реакции доски N, сила трения со стороны доски F, направленная в сторону движения доски, и сила реакции шарнира. Направление последней силы заранее не известно, но оно и не понадобится, так как мы будем рассматривать моменты сил, действующих на балку, относительно оси вращения. Тогда условие равновесия моментов действующих на балку сил имеет вид

mg

2

sin

-

Nsin

±

Fcos

=

0.

(1)

Рис. 2.2. Силы, действующие при движении доски влево (а) и вправо (б)

Знак плюс соответствует движению доски влево (рис. 2.2а), знак минус - движению вправо (рис. 2.2б). Силы, действующие на доску, изображены на рис. 2.2, где mg - сила тяжести, F - сила трения доски о пол, T - внешняя сила, с которой мы тянем (эта сила будет наименьшей, если доска движется равномерно). На основании второго закона Ньютона в этом случае имеем

T

-

F

-

F

=

0,

(2)

N

-

mg

-

N

=

0.

(3)

Вид уравнений (2) и (3) не зависит от того, в какую сторону движется доска.

На основании закона Кулона - Амонтона

F

=

N

,

F

=

N

.

(4)

С помощью первого из соотношений (4) и уравнения (1) определяем F и N. Теперь становится совершенно понятным, почему можно было ограничиться только уравнением моментов сил, действующих на балку: по условию задачи нас интересует только движение доски, а её взаимодействие с балкой описывается двумя силами F и N, которые удаётся определить из написанных соотношений. Итак,

N

=

sin

sin ± cos

mg

2

.

Для нахождения силы T нужно подставить в уравнение (2) вместо F и F их выражения (4). При этом N выражается из соотношения (3) через силу N, которая уже найдена. Проделав всё это, получаем

T

=

mg

+

+

1± ctg

mg

2

.

(5)

Напомним, что верхний знак соответствует движению доски влево, нижний - вправо. Однако второй случай - движение вправо - требует дополнительного исследования, ибо при ctg =1 знаменатель дроби обращается в нуль; при этом T->. А что, если ctg 1? Нетрудно сообразить, что если ctg стремится к единице со стороны меньших значений, необходимая сила T неограниченно возрастает, и при ctg = 1 происходит заклинивание. Совершенно очевидно, что если теперь увеличить или ctg , чтобы ctg стало больше единицы, то доска тем более останется на месте. Поэтому правильный ответ при движении доски вправо выглядит так:

T

=

mg

+

1- ctg

mg

2

, если

ctg 1

.

При ctg >= 1 доску вытащить вправо не удаётся.

Попробуем объяснить «на пальцах», почему во втором случае происходит заклинивание, т.е. неограниченное возрастание силы трения при стремлении ctg к единице со стороны меньших значений. Сравним значения силы T, необходимой для вытягивания доски в первом и втором случаях. Во втором случае, как видно из формулы (5), нужна большая сила. Почему? Момент силы трения F относительно оси в этом случае направлен так, что приводит к увеличению силы N и, как следствие из этого, к увеличению самой силы трения F, Сила трения как бы «увеличивает сама себя».

Решив задачу, мы обычно уверены, что эксперимент подтвердит полученные выводы, в крайнем случае будут несколько нарушены количественные соотношения, если в процессе решения пришлось чем-то пренебречь. Если же используемые приближения окажутся слишком грубыми, то результат эксперимента может качественно отличаться от предсказаний. Например, в этой задаче мы пренебрегали возможностью деформации балки и доски и не учитывали зависимость коэффициента трения скольжения от скорости, что может оказаться весьма существенным в условиях, близких к заклиниванию; в частности, балка может сломаться прежде, чем произойдёт заклинивание, или начать подскакивать.

Рис. 2.3. Схема устройства тормозов задних (а) и передних (б) колёс автомобиля

Однако даже такие академические задачи представляют интерес, несмотря на свой абстрактный характер. В конечном счёте мы не можем рассматривать исчерпывающим образом даже самые простые явления природы - всегда приходится что-то упрощать. Но важно, чтобы выбранная упрощённая модель сохраняла основные черты явления.