Физика в примерах и задачах

Разумеется, в силу закона Паскаля (жидкость-то остановилась!) такое давление действует и на заслонку крана, и на стенки магистральной трубы. Увеличение давления при гидравлическом ударе может во много раз превышать величину v^2/2, характеризующую согласно формуле (6) уменьшение давления при стационарном движении жидкости. В самом деле, скорость звука в воде u, равная примерно 1,5 км/с, значительно больше, чем скорость воды в трубе v, которая обычно пе превышает нескольких десятков метров в секунду. Возникшее при мгновенном перекрывании крана давление будет существовать до тех пор, пока распространяющаяся со скоростью звука волна сжатия не достигнет резервуара и от него не придёт обратная волна, снимающая сжатие воды в магистральной трубе.

Перейдём к случаю, когда кран перекрывается постепенно, в течение времени . Теперь добавочное давление гидравлического удара возникает не скачком, а будет нарастать постепенно. Здесь будут получаться разные результаты в зависимости от соотношения между временем и временем распространения волны сжатия воды по всей длине магистральной трубы.

Рис. 6.2. При медленном перекрывании крана давление гидравлического удара в магистральной трубе нарастает постепенно

Рассмотрим сначала бесконечно длинную магистральную трубу, перекрывание которой происходит за время . Допустим для простоты, что площадь отверстия крана уменьшается так, что давление нарастает со временем по линейному закону (рис. 6.2). К концу промежутка времени , когда отверстие в кране окажется полностью перекрытым и скорость воды в трубе обратится в нуль, давление гидравлического удара достигнет максимального значения, равного тому же самому значению uv, до которого давление возрастает скачком при =0. Поэтому в промежутке 0t давление при гидравлическом ударе будет меняться по закону

p

_уд

(t)

=

uvt

.

(9)

Всё это, конечно, справедливо, если расход воды за время через закрываемый кран будет значительно меньше объёма воды в трубе, останавливающейся за это же время. А расходом воды можно пренебречь при v, в чем легко убедиться с помощью уравнения неразрывности (3).

Выясним теперь, до какого значения будет нарастать давление в трубе конечной длины l. Как только кран начинают перекрывать, образующееся у крана повышение давления распространяется против течения жидкости и через время l/u достигает резервуара. Здесь давление падает, однако жидкость у крана остаётся сжатой, пока до неё не дойдёт от резервуара обратная волна, снимающая сжатие воды. Эта волна также распространяется со скоростью звука в воде u, и её фронт достигает крана спустя промежуток времени T=2l/u после начала закрывания крана. Поэтому при T давление у крана успеет вырасти до максимального значения uv как и в бесконечной трубе. Если же кран закрывается настолько медленно, что T, то, как видно из формулы (9), максимальное значение давления при гидравлическом ударе меньше uv:

p

_уд

(t)

=

uvT

2

=

2vl

.

(10)

Резкое повышение давления в трубопроводе при быстром закрывании крана может вызвать разрыв стенок труб или их повреждение. Формула (10) показывает, каким способом можно снизить возникающее при гидравлическом ударе давление. Этого можно добиться либо увеличением времени перекрывания , либо уменьшением длины трубы l, подверженной ударам. Для этого к магистральному трубопроводу присоединяют ответвления в виде водяных колонн или пневматических резервуаров.

Основы теории гидравлического удара были заложены выдающимся русским учёным Н. Е. Жуковским.

7. Гидравлический таран.

Рис. 7.1. При движении воды в магистральной трубе уровень воды в манометрической трубке ниже уровня в резервуаре

В модели водопровода, которая была рассмотрена в предыдущей задаче, магистральная труба в конце перед краном имеет вертикальный отросток в виде тонкой длинной трубки (рис. 7.1). На каком уровне установится вода в этой трубке при закрытом кране и при открытом? Что будет происходить в отростке при закрывании крана на конце магистрали?

Пока кран закрыт, водонапорный резервуар и вертикальный отросток представляют собой просто сообщающиеся сосуды. Поэтому вода в нем установится на том же самом уровне h, что и в резервуаре.

При открытом кране вода в магистральной трубе движется со скоростью v, которая определяется расходом воды, т.е. тем, насколько открыт кран. Эта скорость может изменяться от нуля до максимального значения, которое определяется формулой (4) предыдущей задачи. Давление p в магистральной трубе, как было выяснено в предыдущей задаче, будет в этом случае меньше гидростатического на величину v^2/2

p

=

gh

-

v^2

2

.

(1)

Поскольку нижнее отверстие отростка параллельно линиям тока воды в магистральной трубе, то его можно рассматривать как обыкновенную манометрическую трубку, высота столба воды в которой h как раз соответствует давлению p на её нижнем конце:

p

=

gh

.

(2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), видим, что при открытом кране уровень воды в тонкой вертикальной трубке расположен ниже уровня воды в резервуаре на величину v^2/2 (рис. 7.1).