Физика в примерах и задачах

Рассматривая это движение за достаточно малый промежуток времени t можно представить скорость и ускорение корабля в виде отношений v=x/t, a=v/t. Тогда уравнение (1) можно переписать в виде

mv

t

=-

kx

t

.

(2)

Сокращая обе части равенства (2) на одну и ту же величину t, получаем соотношение, связывающее изменение скорости корабля v с изменением его положения x за тот же самый промежуток времени:

v

=-

k

m

x

.

(3)

Поскольку k/m есть постоянная величина (она не зависит ни от положения корабля, ни от времени), то соотношение (3) справедливо не только для малых промежутков времени t, но и для любых больших промежутков. Поэтому зависимость скорости корабля v от его положения, характеризуемого координатой x, выражается линейной функцией

v(x)

=

v

-

k

m

x

.

(4)

Рис. 9.1. Зависимость скорости корабля от его положения

Она показана на рис. 9.1. В начальный момент, когда x=0, скорость корабля равна v. Когда корабль пройдёт весь путь l до остановки, его скорость обратится в нуль. Путь l можно найти, полагая в (4) v=0:

l

=

m

k

v

.

(5)

А как меняется скорость корабля с течением времени? На этот вопрос можно ответить, если в уравнение второго закона Ньютона (1) подставить ускорение a как производную скорости по времени:

mdv

dt

=-

kv

.

(6)

Это дифференциальное уравнение для функции v(t), согласно которому производная dv/dt пропорциональна самой функции. Решение такого уравнения представляет собой экспоненциальную функцию

v(t)

=

C exp

-

k

m

t

.

(7)

Постоянная C равна значению скорости в начальный момент при t=0. Поэтому

v(t)

=

v exp

-

k

m

t

.

(8)

График этой функции показан на рис. 9.2. Скорость корабля убывает сначала быстро, а затем всё медленнее и медленнее, асимптотически приближаясь к значению v=0. Строго говоря, скорость обратится в нуль только спустя бесконечно большой промежуток времени. Однако почти вся эта «бесконечность» приходится на «дотягивание» скорости до нуля. Основное её изменение происходит за конечный промежуток времени. Такие экспоненциально затухающие процессы, которые формально продолжаются бесконечно долго, часто встречаются в физике. Например, по такому закону происходит явление радиоактивного распада.

Рис. 9.2. Скорость корабля как функция времени

Эффективную длительность процесса экспоненциального затухания принято характеризовать временем, в течение которого затухающая величина уменьшается в определённое число раз, например в два раза (период полураспада). Обычно в физике вводят время , в течение которого происходит уменьшение затухающей величины в e раз. Именно это время условно называют длительностью процесса. В этом смысле время движения корабля , как видно из формулы (8), равно m/k. Для его нахождения нужно просто приравнять показатель экспоненты минус единице.

Зависимость положения корабля от времени x(t) можно найти из соотношения (4), если подставить в него скорость как функцию времени из формулы (8). Учитывая, что согласно (5) mv/k=l, получаем

x(t)

=

l

1

-

exp

-

k

m

t

.

(9)

График этой функции показан на рис. 9.3. Хотя движение корабля и происходит бесконечно долго, пройденный им путь l оказывается конечным. Основную часть этого пути корабль проходит за время .

Рис. 9.3. Координата корабля как функция времени

В этой задаче был рассмотрен пример, когда движение происходило только под действием силы сопротивления. Иногда приходится рассматривать случаи, когда кроме силы сопротивления действуют и другие силы. Например, можно решать задачу о разгоне корабля под действием постоянной силы тяги гребных винтов при учёте сопротивления воды. При этом время разгона корабля формально будет бесконечным. Однако для моментов времени t>> можно считать, что процесс разгона корабля закончился и он движется с постоянной скоростью v значение которой определяется из условия равенства силы тяги и силы сопротивления. Но длительность разгона не зависит от силы тяги и определяется теми же параметрами m и k, что и в разобранном примере: =m/k

V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Физические свойства систем, состоящих из большого числа частиц (атомов и молекул), составляют предмет изучения молекулярной физики и термодинамики. Любая макроскопическая система содержит огромное число частиц. Например, всего 1 см³ воздуха при нормальных условиях содержит 2,7·10¹⁹ молекул. Поэтому совершенно очевидно, что применение законов динамики для нахождения микроскопических характеристик такой системы, т.е. координат и скоростей всех молекул, совершенно бесперспективно. Но такая детальная информация о рассматриваемой системе нам и не нужна.