Физика в примерах и задачах

Если при атмосферном давлении p высота ртутного столба равна H (рис. 1.1), то давление p равно сумме давления воздуха в трубке над ртутью p и гидростатического давления столба ртути высотой H. Если измерять давление воздуха, как и гидростатическое давление, прямо в миллиметрах ртутного столба, то

p

=

p

+

H

.

Точно такое же соотношение можно написать и для измеряемого атмосферного давления p_атм в случае, когда показание испорченного барометра равно H:

p

_атм

=

p

+

H

,

(2)

где p - давление воздуха в трубке над ртутным столбом высотой H. Теперь, считая воздух в трубке идеальным газом, можно воспользоваться уравнением его состояния. Так как масса попавшего в трубку воздуха в дальнейшем уже не меняется, а сечение трубки одинаково по всей её длине, то

p(L-H)

T

=

p(L-H)

T

.

(3)

Подставляя в соотношение (3) значение p из уравнения (1), находим

p

=

(p-H)

L-H

L-H

T

T

.

(4)

Формула (4) даёт поправку, которую, как видно из уравнения (2), нужно прибавить к показаниям барометра H, чтобы получить истинное значение атмосферного давления p_атм. Формулу для расчёта p_атм удобно записать в виде

p

_атм

=

H

+

T

L-H

C

,

где

C

=

(p-H)

L-H

T

.

(5)

Числовое значение постоянной C может быть раз и навсегда вычислено заранее. Прибором можно пользоваться, только теперь для нахождения атмосферного давления нужен ещё и термометр.

2. Вакуумный насос.

Имеется сосуд объёмом V и поршневой насос с объёмом камеры V' (рис. 2.1). Сколько качаний нужно сделать, чтобы давление в сосуде уменьшилось от p до p'? Атмосферное давление равно p. Изменением температуры пренебречь.

Рис. 2.1. Схема поршневого вакуумного насоса

Мы, естественно, считаем, что начальное давление p не превосходит наружного давления p, иначе можно сначала просто выпустить излишек газа.

Эту задачу можно решить, используя закон Бойля - Мариотта, хотя в процессе откачки масса газа в сосуде изменяется. Действительно, рассмотрим первый ход поршня влево; при этом клапан A закрыт, клапан B открыт и газ из сосуда входит в камеру насоса. Давление газа уменьшается от первоначального значения до некоторого p. Поскольку процесс изотермический и масса газа при этом не меняется, можно воспользоваться законом Бойля - Мариотта:

pV

=

p

(V+V')

.

(1)

При обратном ходе поршня клапан B закрывается, и воздух из камеры насоса выталкивается наружу через клапан A. При втором ходе поршня влево всё повторяется точно так же, только давление в начале хода в сосуде равно p. Обозначая давление в конце второго хода через p, имеем

pV

=

p

(V+V')

.

Подставляя сюда p уравнения (1), находим

p

=

p

V

V+V'

^2

.

Рассуждая дальше таким же образом, нетрудно убедиться, что после n ходов поршня давление в сосуде будет равно

p

_n

=

p

V

V+V'

n

(2)

По формуле (2) определяется число качаний n, необходимое для того, чтобы понизить давление в сосуде до значения p_n=p':

n

=

lg(p'/p)

lg[V/(V+V')]

.

Интересно построить график зависимости давления в сосуде от числа качаний n. Это есть график показательной функции с основанием V/(V+V')1 (рис. 2.2). Обратите внимание, что давление с каждым шагом уменьшается на всё меньшее и меньшее значение. Подумайте, как поступить, если требуемое конечное давление p' не совпадает ни с одним значением p_n, определяемым формулой (2).

Рис. 2.2. Зависимость давления в откачиваемом сосуде от числа качаний насоса

Согласно формуле (2) по мере откачки давление воздуха в сосуде убывает и при достаточно большом числе качаний n может быть сделано сколь угодно малым. Однако в действительности ни один насос не может откачать воздух из сосуда полностью, так, чтобы давление в нем обратилось в нуль. Для каждого насоса существует некоторое минимальное давление p_min, ниже которого он не может дать разрежение. Причина этого - существование вредных пространств, неидеальная работа клапанов и т.п. Например, когда поршень насоса движется вправо, выталкивая воздух из камеры в атмосферу, между поршнем и клапаном неизбежно остаётся пусть даже очень маленький, но конечный объём V. Поэтому не весь воздух из камеры будет вытолкнут в атмосферу. Это и замедляет откачку и в конце концов приводит к тому, что при некотором давлении в сосуде насос вообще начинает работать вхолостую. Действительно, при давлении в сосуде p_min воздух, сжатый от первоначального объёма камеры V до объёма V, будет иметь давление не выше атмосферного p и не сможет выйти наружу. Итак, для определения предельного давления, обусловленного существованием вредного пространства, можно написать условие

p

_min

V'

=

p

V

,

откуда

p

_min

V'

=

p

V

V'

.

(3)

Для получения больших разрежений обычно используют несколько насосов, соединённых последовательно. Насос каждой последующей ступени откачивает воздух не в атмосферу, а в объём, из которого воздух откачивается насосом предыдущей ступени.

3. Колебания поршня.