Физика в примерах и задачах

Разделив M на среднюю молярную массу воздуха , получаем число молей, содержащихся в земной атмосфере, и тогда полное число молекул

N

=

M

N

_A

=

4R^2p

g

N

_A

.

(2)

где N_A - постоянная Авогадро. Выразив всё входящие в формулу (2) величины в какой-либо одной системе единиц, получим N10.

Итак, чтобы подсчитать число молекул воздуха в земной атмосфере, достаточно знать лишь давление воздуха на уровне моря, молярную массу воздуха, радиус Земли и ускорение свободного падения g у её поверхности. В ответ не входит высота атмосферы, важно лишь, чтобы она была мала по сравнению с радиусом Земли. Совершенно несущественной оказалась температура воздуха и её распределение в земной атмосфере.

При решении этой задачи мы воспользовались тем, что толщина атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли. Этот факт хорошо известен, но остаётся вопрос, почему это так, почему земная атмосфера устроена именно таким образом? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как концентрация молекул воздуха зависит от высоты.

Рис. 5.1. Силы, действующие на мысленно выделенный слой газа в поле тяжести

Распределение молекул воздуха по высоте легко найти, если предположить, что атмосфера находится в состоянии термодинамического равновесия, т.е. температура воздуха T в ней всюду одинакова. Так как давление газа p связано с его концентрацией n соотношением p=nkT, то при постоянной температуре зависимость концентрации и давления от высоты одинакова. Поэтому можно искать зависимость давления воздуха от высоты. Выделим мысленно горизонтальный слой воздуха на высоте h с площадью основания S, толщина которого h мала настолько, чтобы плотность воздуха p в пределах этого слоя можно было считать постоянной. В то же время толщина выделенного слоя должна быть такой, чтобы внутри этого слоя было достаточно много молекул и можно было бы говорить о производимом ими давлении. К этому слою воздуха можно применить условие механического равновесия, считая, что действующая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания со стороны соседних слоёв (рис. 5.1). Если обозначить давление воздуха на высоте h через p, а на высоте h+h через p+p, то условие равновесия запишется в виде

pS

-

(p+

p)S

-

gS

h

=

0,

(3)

откуда

p

=-

g

h

.

(4)

Входящую в формулу (4) плотность воздуха р можно выразить через давление с помощью уравнения Менделеева - Клапейрона:

=

P

RT

.

(5)

Подставляя из (5) в уравнение (4) и переходя в нем к пределу h->0, получаем дифференциальное уравнение для функции p(h):

dp

dh

=-

g

RT

p

.

(6)

Мы опять встречаемся с уравнением, в котором производная искомой функции пропорциональна самой функции. Решением этого уравнения является экспонента

p(h)

=

Cexp

-

g

RT

h

.

(7)

Постоянная C определяется из условия, что давление на нулевой высоте h=0 равно нормальному атмосферному давлению p:

p(h)

=

pexp

-

g

RT

h

.

(8)

График этой функции приведён на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Зависимость давления газа от высоты в однородном поле тяжести

Подставляя в формулу (8) значения =0,029 кг/моль, g=9,8 м/с^2, R=8,31 Дж/(моль·K), T=300 K, убеждаемся, что имеющая размерность длины величина RT/g равна 8,8 км. На такой высоте давление убывает в e=2,72 раза. Это означает, что характерный масштаб изменения давления или концентрации с высотой составляет примерно 10 км. На высоте 100 км давление воздуха согласно формуле (8) уже практически равно нулю. Итак, атмосфера Земли - это тоненькая оболочка вокруг земного шара.

Формула (8) остаётся справедливой и в том случае, когда газ находится в закрытом сосуде, помещённом в однородное поле тяжести. Действительно, при выводе формулы (8) то обстоятельство, что атмосфера представляет собой газ в открытом сосуде без «крышки» сверху, никак не использовалось. Применяя формулу (8) к газу в закрытом сосуде, следует считать, что p представляет собой давление газа на дно сосуда. Давление же на крышку будет, как видно из (8), меньше чем p, так что разность сил давления на дно и на крышку цилиндрического сосуда как раз равна весу газа в сосуде.

Подводя итог, можно сказать, что хотя давление газа обусловлено ударами хаотически движущихся молекул, в открытом сосуде (в атмосфере) оно определяется весом столба газа. Поле тяжести в этом случае играет роль той «крышки», которая не даёт возможности газу распространиться по всему предоставленному ему объёму.

6. Торможение спутника в верхних слоях атмосферы.

Решая задачу об изменении параметров орбиты спутника при его торможении в верхних слоях атмосферы, мы не рассматривали самого механизма торможения, поскольку связанная с этим процессом потеря механической энергии была задана в условии задачи. В этом примере мы рассмотрим физическую причину торможения спутника и свяжем потерн энергии с параметрами атмосферы. Будем для определённости считать, что спутник движется по круговой орбите на высоте h=200 км, где плотность атмосферы р составляет примерно 3·10^-1 кг/м^3. Оценим силу трения, действующую на спутник, площадь поперечного сечения которого S м^2, а масса M=10^3 кг.