Физика в примерах и задачах

На рис. 6.2 показано распределение молекул воздуха по проекции скорости их теплового движения на выделенное направление - направление движения тела. Ширина этого «колокола» по порядку величины равна средней тепловой скорости молекул v. При V>>v точка, изображающая скорость тела, лежит на этом графике далеко за пределами «колокола», т.е. на расстоянии от начала координат, много большем ширины «колокола». Поэтому при расчёте действия воздуха на движущееся с такой большой скоростью тело можно совсем пренебречь тепловым движением молекул воздуха и считать, что тело налетает на неподвижные молекулы. Всё взаимодействие с воздухом происходит только на передней поверхности тела.

Рис. 6.3. К вычислению импульса, передаваемого молекулами воздуха при столкновении с телом

Для нахождения действующей на тело силы удобнее считать, что, наоборот, тело покоится, а на него налетает поток молекул, в котором все молекулы имеют одинаковую скорость, равную скорости тела V. Если поверхность тела перпендикулярна направлению налетающего потока, то при абсолютно упругом ударе каждая молекула передаёт телу импульс 2mV (рис. 6.3). Число таких ударов о переднюю поверхность тела площади S за единицу времени равно числу молекул воздуха, находящихся в цилиндре с площадью основания S и высотой V (рис. 6.3), т.е. nVS. Поэтому полная сила, действующая на тело, равна

F

=

2mnV^2S

=

2V^2S

.

(3)

Таким образом, при V>>v сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела. При движении спутника по околоземной круговой орбите его скорость составляет приблизительно 8 км/с. Это значительно больше средней тепловой скорости молекул воздуха, которая при температуре T порядка нескольких сот кельвинов, характерной для атмосферы на высоте около 200 км, составляет примерно vkT/m10^3 м/с. Поэтому для нахождения силы сопротивления нужно пользоваться формулой (3). Подставляя в неё данные из условия задачи, получаем F0,4 Н. Такая сила сообщает спутнику массой 1 т ускорение a4·10^-4 м/с^2.

При получении формулы (3) мы считали, что удар молекул о поверхность спутника абсолютно упругий. Если считать этот удар неупругим, то сила торможения будет вдвое меньше. При неупругом ударе форма поверхности спутника не влияет на силу, а определяется площадью поперечного сечения S.

Интересно отметить, что для спутника, имеющего форму шара, сила сопротивления не зависит от того, упруго или неупруго сталкиваются с его поверхностью молекулы воздуха.

Полученное выражение для силы сопротивления (3) даёт возможность найти относительное уменьшение механической энергии E/E за один оборот спутника вокруг Земли. Потеря энергии за один оборот E определяется работой силы торможения:

E

=-

F·2

(R+h)

,

(4)

где R - радиус Земли. Скорость спутника на круговой орбите высоты h определяется соотношением

V^2

=

gR^2

R+h

.

(5)

Поскольку механическая энергия спутника

E

=-

MgR^2

2(R+h)

,

(6)

то для E/E получаем

E

E

=

8

S

M

(R+h)

.

(7)

Используя данные задачи, с помощью формулы (7) можно убедиться, что уменьшение энергии, например, на 2% произойдёт приблизительно за 40 оборотов вокруг Земли.

7. Газ в сосуде с перегородкой.

Сосуд с разрежённым газом разделён на две части тонкой перегородкой, в которой имеется отверстие, размер которого мал по сравнению со средней длиной свободного пробега (рис. 7.1). Найти отношение концентрации газа в разных частях сосуда, если в одной из них поддерживается температура T в другой T.

Рис. 7.1. Молекулы газа могут проходить через отверстие в перегородке сосуда

Будем считать, что газ в сосуде идеальный, т.е. его молекулы взаимодействуют между собой только при столкновениях. По условию задачи газ разрежён настолько, что средняя длина свободного пробега молекул между столкновениями много больше размеров отверстия. В этом случае молекулы свободно проходят через отверстие, причём каждая молекула приходит в другую половину сосуда с той же энергией, которой она обладала до этого. Средняя энергия молекул при термодинамическом равновесии определяется температурой. Поэтому переход молекул из одной части сосуда в другую должен приводить к выравниванию температур.

Говорить об определённой температуре газа каждой части сосуда можно только в том случае, когда отверстие в перегородке достаточно маленькое, так что установление термодинамического равновесия в каждой части сосуда происходит гораздо быстрее, чем выравнивание температур этих частей.

Сколько же молекул проходит в единицу времени через отверстие из одной половины сосуда в другую? Нетрудно сообразить, что среднее число таких молекул N пропорционально концентрации n и средней скорости v молекул в той половине сосуда, из которой они переходят, а также площади отверстия S:

N

=

CnvS

.

(1)

Для вычисления числового значения безразмерного коэффициента C нужно знать закон распределения молекул по направлениям скорости. Однако для решения этой задачи значение C нам не потребуется.