Физика в примерах и задачах

В стационарном состоянии полное число молекул в каждой половине сосуда не меняется со временем. Поэтому среднее число молекул, проходящих через отверстие слева направо и справа налево, должно быть одинаковым. Отсюда с помощью соотношения (1) получаем

nv

=

nv

.

(2)

Средние скорости молекул в каждой половине пропорциональны квадратному корню из соответствующей температуры. Поэтому из равенства (2) находим

n/n

=

T/T

.

(3)

В горячей части сосуда концентрация молекул меньше. Однако давление газа там больше, чем в холодной части. Учитывая, что давление выражается формулой p=nkT, с помощью равенства (3) получаем для отношения давлений в разных половинах сосуда

p/p

=

T/T

.

(4)

Рассмотренные в этой задаче закономерности, связанные с прохождением молекул газа через отверстие, соединяющее сосуды с разной температурой, позволяют объяснить следующий простой, но очень эффектный опыт. Керамический сосуд с пористыми стенками опускается открытым концом в воду (рис. 7.2). Внутри сосуда находится спираль, при пропускании тока через которую можно нагревать находящийся в сосуде воздух. При включении спирали температура воздуха повышается, он расширяется и начинает выходить пузырями из находящегося под водой отверстия сосуда. При достижении стационарного состояния, когда подводимая спиралью теплота станет равной теплоте, отдаваемой поверхностью сосуда в окружающую среду, в сосуде установится определённая температура. Казалось бы, что при этом выход пузырей воздуха должен прекратиться. Так бы и произошло, если бы стенки сосуда были непроницаемыми для молекул воздуха, например стеклянными или металлическими.

Рис. 7.2. При нагретой спирали из сосуда непрерывно выходят пузырьки воздуха

Но если стенки сосуда пористые, то пузырьки воздуха будут выходить всё время, даже тогда, когда температура воздуха в сосуде перестанет повышаться! В чем же здесь дело?

Температура воздуха внутри пористого сосуда выше, чем снаружи, в атмосфере. Давление же воздуха там и там практически одинаково: внутри сосуда оно больше атмосферного всего на несколько сантиметров водяного столба, что соответствует глубине погружения отверстия сосуда под воду. Через поры в стенках сосуда происходит непрерывный обмен молекулами между воздухом внутри сосуда и в атмосфере, так же как это происходит в сосуде с отверстием в перегородке, рассмотренным в данной задаче. В замкнутом сосуде в стационарном состоянии число молекул, проходящих через отверстие в обе стороны, одинаково. В результате, как видно из формулы (3), в частях сосуда устанавливались такие концентрации, что произведение концентрации на корень из термодинамической температуры было одинаково: nT=const.

В рассматриваемом случае одинаковыми по обе стороны пористой перегородки будут давления воздуха. Так как p=nkT, то теперь nT=const. Но это означает, что потоки молекул воздуха через поры в стенках из атмосферы в сосуд и обратно неодинаковы. Какой же из них больше? Так как поток молекул пропорционален произведению nT в той части, откуда он идёт, то при выполнении условия nT=const он будет больше оттуда, где температура ниже. Это и даёт объяснение описанному опыту: поток воздуха через поры внутрь сосуда больше, чем наружу. В результате в стационарном состоянии входящий через поры в сосуд избыточный воздух нагревается, расширяется и выходит в виде пузырей через отверстие.

8. Разделение изотопов.

Прохождение газа через пористую перегородку при достаточно низком давлении, когда средний диаметр пор мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул, может быть использовано для разделения изотопов. Для этого газообразное химическое соединение элемента, содержащего естественную смесь изотопов (например, шестифтористый уран, содержащий молекулы ^2^3UF и ^2^3UF), пропускается через ячейку, устройство которой показано на рис. 8.1. В газе, прошедшем через пористую перегородку, увеличивается процентное содержание лёгкого изотопа. Прошедший газ непрерывно откачивается и подаётся в следующую ячейку. Этот процесс повторяется многократно. Сколько циклов необходимо провести, чтобы отношение концентраций лёгкого и тяжёлого изотопов увеличить в 10 раз, если молярные массы соединений лёгкого и тяжёлого изотопов равны соответственно и ?

Рис. 8.1. Схема ячейки каскада разделения изотопов: A - на вход поступает смесь изотопов; B - обогащённая лёгким изотопом смесь, прошедшая через пористую перегородку, подаётся на вход следующей ступени каскада; C - обогащённая тяжёлым изотопом смесь возвращается на вход ячейки предыдущего каскада

Поскольку в каждой ячейке прошедший через пористую перегородку газ непрерывно откачивается насосом, можно считать, что его концентрация (т.е. число молекул в единице объёма) за перегородкой пренебрежимо мала по сравнению с концентрацией на входе в ячейку. Поэтому при расчётах можно пренебречь обратным потоком молекул и считать, что газ проходит через поры в перегородке только в одном направлении.