Физика в примерах и задачах

Из формулы (9) видно, что масса испаряющегося газа пропорциональна концентрации n оставшегося между стенками сосуда Дьюара воздуха. Поэтому теплоизоляция будет тем лучше, чем этого воздуха меньше. Обычно сосуды Дьюара откачивают до высокого вакуума (10^-3 - 10^-5 мм рт. ст.). Это соответствует концентрации оставшегося воздуха n=p/kT~10¹¹-10¹³ см^-3. При таких концентрациях длина свободного пробега будет составлять, как видно из соотношения (1), величину порядка 1/(nd^2)~10-10³ см. Расстояние между двойными стенками l обычно равно нескольким миллиметрам. Поэтому при таком давлении оставшегося воздуха средняя длина свободного пробега значительно превышает расстояние между стенками и механизм теплопроводности именно такой, какой рассмотрен в задаче.

При давлении воздуха между стенками порядка 10^-2 мм рт. ст. длина свободного пробега становится сравнимой с расстоянием между стенками. Поэтому откачка до такого или большего давления вообще лишена смысла, поскольку в таких условиях теплопроводность воздуха не зависит от давления.

Поверхности стенок сосуда, образующих вакуумное пространство, обычно покрываются тонким слоем серебра, чтобы уменьшить лучистый теплообмен между стенками. Поэтому в данной задаче мы не учитывали лучистую составляющую теплового потока.

Сосуды Дьюара используются и для хранения веществ при температуре более высокой, чем температура окружающей среды. Распространённые в быту термосы представляют собой стеклянные сосуды Дьюара, заключённые в металлическую или пластмассовую оболочку для защиты от повреждений.

10. Теплоёмкость идеального газа.

Один моль идеального газа нагревают при таких условиях, что давление газа пропорционально его объёму:

p

=

V

,

где - постоянная. (Здесь молярный объём газа обозначен через V а не V чтобы не загромождать формулы.) Найдите теплоёмкость газа в этом процессе. Попробуйте придумать устройство, в котором давление газа и занимаемый им объём были бы связаны таким соотношением.

Теплоёмкость идеального газа (как и любой другой физической системы) является физической величиной, характеризующей не столько саму систему, сколько происходящий в ней процесс.

Вспомним первый закон термодинамики - закон сохранения энергии для процессов, связанных с теплопередачей:

Q

=

U

+

A

(1)

- сообщённое системе количество теплоты Q определяет изменение внутренней энергии системы U и совершенную при этом системой работу A. Рассматриваемая нами система - идеальный газ, его внутренняя энергия не зависит от занимаемого им объёма и определяется только температурой. Поэтому при любом способе нагревания газа на T его внутренняя энергия изменяется на одну и ту же величину. А вот совершаемая газом работа при этом может быть различной. Например, при нагревании при постоянном объёме газ вообще не совершает работы, а при нагревании при постоянном давлении совершаемая газом работа A=pV. В результате, как видно из уравнения (1), теплоёмкость газа C=Q/T оказывается различной в зависимости от того, при каких условиях происходит его нагревание. В первом случае теплоёмкость одного моля обозначается C_V и даётся формулой

C

_V

=

U

T

.

(2)

Во втором случае теплоёмкость обозначается C_p, и с помощью уравнения (1) для неё получается выражение

C

_p

=

C

_V

pV

T

.

Из уравнения состояния одного моля идеального газа pV=RT при постоянном давлении находим pV=RT Теперь для теплоёмкости C_p одного моля идеального газа получаем

C

_p

=

C

_V

+

R

.

(3)

В общем случае для нахождения теплоёмкости газа нужно уметь вычислять работу, совершаемую газом при произвольном процессе.

Как же вычислить работу, совершаемую газом, когда его давление не остаётся постоянным, а связано с объёмом соотношением p=V? Очевидно, что работа также выражается соотношением A=pV, но только при постоянном давлении V могло быть любым, а в рассматриваемом случае V нужно выбирать настолько малым, чтобы можно было пренебречь изменением давления p при расширении газа на V Теперь нужно связать pV при малом изменении объёма с изменением температуры. Для этого воспользуемся уравнением состояния

pV

=

RT

.

(4)

Пусть при изменении температуры газа на T его объём изменился на V, а давление - на p. Эти изменения связаны между собой благодаря уравнению состояния:

(p+

p)

(V+

V)

=

R(T+

T)

.

(5)

Вычитая выражение (4) из (5) и пренебрегая малым членом pV, получаем

p

V

+

V

p

=

R

T

.

(6)

В рассматриваемом процессе, когда давление газа пропорционально его объёму, имеем p=V. Поэтому

V

p

=

V

V

=

p

V

.

(7)

Подставляя Vp из выражения (7) в (6), находим

A

=

p

V

=

R

T/2

.

(8)

С помощью уравнения (1) находим теплоёмкость газа в этом процессе:

C

=

C

_V

+

R/2

.

Вспоминая связь C_V и C_p, даваемую формулой (3), замечаем, что C можно представить в виде

C

=

(C

_V

+C

_p

)/2

.

Отметим, что в трёх рассмотренных нами процессах (нагревание газа при постоянном объёме, при постоянном давлении и при p=V) теплоёмкость газа остаётся постоянной на всём протяжении процесса.

Рис. 10.1. Устройство, в котором давление газа может быть пропорционально его объёму