Физика в примерах и задачах

=

3

7

.

Полученные формулы (9) и (10) полезно проверить для предельного случая, когда ответ очевиден. Если жёсткость пружины k-> то газ не сможет сдвинуть поршень с места, и, следовательно, объём, температура и давление газа останутся без изменения. В этом случае V=V и формулы (9) и (10), как и полагается, дают T=T и p=p.

12. Измерение отношения теплоёмкостей.

Для экспериментального определения отношения теплоёмкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объёме =C_p/C_V можно применить следующий метод. Некоторое количество газа , начальные объём и давление которого равны V и p, нагревается дважды при помощи электрической спирали, через которую пропускают ток в течение одного и того же времени: сначала при постоянном объёме V, причём конечное давление равно p, затем при постоянном давлении p из того же начального состояния, причём конечный объём оказывается равным V. Как по этим данным рассчитать отношение ?

Поскольку электрический нагреватель в обоих случаях работает одинаковое время, то и подводимое к газу количество теплоты будет одинаковым: Q=Q. Будем считать, что условия эксперимента обеспечивают отсутствие теплообмена газа с окружающей средой, т.е. сосуд с газом адиабатически изолирован. Поэтому можно написать

Q

=

C

_V

T

,

Q

=

C

_p

T

,

(1)

где C_V и C_p - молярные теплоёмкости исследуемого газа при постоянном объёме и при постоянном давлении, а T и T - изменения температуры, газа в первом и втором случаях. Так как Q=Q, то из формул (1) для =C_p/C_V получаем

=

T

T

.

(2)

Поскольку в описываемом эксперименте измеряются не температура, а объём и давление газа, то изменение температуры следует выразить через изменение объёма и давления. Для того чтобы сделать это, нужно воспользоваться уравнением состояния.

Формула (2) справедлива для любого газа, не обязательно идеального. Поэтому если бы мы могли измерять с достаточной точностью изменение температуры, то по формуле (2) мы бы непосредственно находили отношение теплоёмкостей реального газа. Однако измерять изменение температуры газа трудно, так как такое измерение требует значительного времени, пока термометр придёт в тепловое равновесие с газом. А это, в свою очередь, накладывает жёсткие требования на степень теплоизоляции газа от окружающей среды. При измерении изменения объёма и давления газа такие требования не возникают. Но за удобство измерений приходиться платить тем, что теперь необходимо знать уравнение состояния газа.

Если условия опыта таковы, что газ с достаточной точностью можно считать идеальным, то можно воспользоваться уравнением Менделеева - Клапейрона

pV

=

RT

.

(3)

Тогда в первом случае, при нагревании газа при постоянном объёме V, имеем

(p-p)V

=

R

T

.

(4)

Во втором случае, при нагревании при постоянном давлении p, из (3) имеем

p(V-V)

=

R

T

.

(5)

Выражая T и T из равенств (4) и (5) и подставляя их значения в соотношение (2), находим

=

C_p

C_V

=

(p-p)V

p(V-V)

=

p/p-1

V/V-1

.

13. Истечение газа из отверстия.

Какую скорость имеет струя газа, вырывающегося из небольшого отверстия в стенке баллона со сжатым газом (рис. 13.1)? Температура и давление газа в баллоне имеют значения T и p.

Рис. 13.1. Истечение газа из отверстия в баллоне

Если размер отверстия значительно превышает длину свободного пробега молекул газа в баллоне, то истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток. Ограничимся достаточно малым промежутком времени, таким, чтобы давление и температуру газа в баллоне можно было считать неизменными. Тогда процесс истечения газа из баллона можно рассматривать как стационарный, причём траектории любых мысленно выделенных элементов газа совпадают с линиями тока. Если пренебречь тангенциальными силами вязкости между соседними элементами потока газа, что вполне оправдано для рассматриваемого процесса, то для изучения движения газа можно воспользоваться законом сохранения энергии.

Рис. 13.2. При стационарном течении энергия газа между сечениями 1' и 2 (показанного двойной штриховкой) не меняется со временем

Выделим в стационарном потоке газа определённую трубку тока (рис. 13.2). В этой трубке рассмотрим газ, находящийся в некоторый момент времени между сечениями 1 и 2. За промежуток времени t этот газ перейдёт в новое положение между сечениями 1' и 2'. Применим к этому выделенному газу первый закон термодинамики - закон сохранения энергии. Особенностью рассматриваемого процесса является то, что у выделенной части газа меняется не только внутренняя энергия U, но и кинетическая энергия макроскопического направленного движения E_k. Полное изменение энергии газа определяется внешним воздействием на него:

U

+

E

_k

=

Q

+

A'

,

(1)