Физика в примерах и задачах

где Q - сообщённое выделенному газу количество теплоты, а A' - работа, совершенная действующими на газ внешними силами за время t. В рассматриваемом явлении быстрого истечения из отверстия процесс, происходящий с выделенной частью газа, можно считать адиабатическим; т.е. положить в (1) Q=0. Разумеется, нельзя утверждать, что теплообмен с соседними участками вообще отсутствует, ведь адиабатической оболочки нет! Однако в струе газа работа, совершаемая соседними участками при «проталкивании» выделенной части газа вдоль трубки тока, гораздо больше, чем Q, и поэтому теплообменом можно пренебречь.

При вычислении работы A' следует учесть, что действующие на выделенную часть газа силы давления со стороны соседних участков в сечении 1 направлены вдоль перемещения и противоположно перемещению в сечении 2 (рис. 13.2). Поэтому выражение для работы A' при перемещении газа за время t имеет вид

A'

=

p

V

-

p

V

,

(2)

где p и p - давления газа в сечениях 1 и 2, V - объём части трубки тока между сечениями 1 и 1', а V - между сечениями 2 и 2'.

В равновесной термодинамической системе макроскопические параметры, такие как температура T и давление p, имеют одно и то же значение во всех точках. В потоке газа, в отличие от равновесной системы, значения этих параметров меняются от точки к точке, так что можно говорить только о локальном термодинамическом равновесии в отдельных частях потока. Но и такое описание применимо только в тех случаях, когда скорость макроскопического движения газа достаточно медленно меняется в пространстве и во времени. Будем считать, что это условие выполнено. Тогда давление и температура газа меняются вдоль трубки тока на рис. 13.2, но значения этих параметров в пределах малых элементов, например между сечениями 1 и 1' или 2 и 2', можно считать неизменными и связанными между собой уравнением состояния.

С помощью уравнения состояния работу A' в (2) можно выразить через температуры газа в сечениях 1 и 2. Считая, что за время t через каждое сечение трубки тока проходит количество газа , имеем

p

V

=

RT

,

p

V

=

RT

,

и выражение (2) принимает вид

A'

=

R

(T-T)

.

(3)

Перейдём теперь к вычислению изменения энергии газа E_k и U. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то при прохождении количества газа внутренняя энергия выделенной части изменится на величину

U

=

C

_V

(T-T)

,

(4)

где C_V - молярная теплоёмкость при постоянном объёме. Изменение кинетической энергии

E

_k

=

(v^2-v^2)

2

,

(5)

где - молярная масса газа, v и v, - скорости струи в сечениях 1 и 2.

Подставляя соотношения (3) - (5) в уравнение закона сохранения энергии (1) и сокращая на , получаем

(C

_V

+R)

(T-T)

+

(v^2-v^2)

2

=

0.

(6)

Поскольку сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то из соотношения (6) следует, что величина (C_V+R)T+v^2/2 имеет одно и то же значение вдоль всей линии тока. Учитывая, что C_V+R=C_p где C_p - молярная теплоёмкость при постоянном давлении, можно написать

C

_p

T

+

v^2

2

=

const.

(7)

Этому уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению Бернулли в гидродинамике идеальной жидкости. Для этого разделим уравнение (7) почленно на молярный объём V. Учитывая, что RT/V=p, а /V есть плотность газа , имеем

p

+

c

_V

T

+

v^2

2

=

const.

(8)

где c_V=C_V/ - удельная теплоёмкость газа. Первый и третий члены в левой части этого уравнения совпадают с соответствующими членами в уравнении Бернулли. В уравнении (8) отсутствует член gh, выражающий плотность потенциальной энергии газа (или жидкости) в поле тяжести. Это связано только с тем, что в уравнении (1) не учитывалось изменение потенциальной энергии, так как струя предполагалась горизонтальной. Новым по сравнению с уравнением Бернулли является второй член в уравнении (8), который выражает плотность внутренней энергии газа. В несжимаемой жидкости плотность внутренней энергии неизменна, и её не нужно учитывать в уравнении баланса энергии.

Соотношение (7) позволяет выразить скорость струи газа, вытекающей из отверстия в баллоне, через изменение температуры газа. Так как внутри баллона скорость направленного движения практически равна нулю, то

C

_p

T

=

C

_p

T

+

v^2

2

,

(9)

откуда для скорости струи v получаем

v

=

2

C

_p

(T-T)

1/2

.

(10)

Для вычисления скорости струи по формуле (10) нужно знать температуру T газа в струе. Её можно найти с помощью уравнения адиабатического процесса. При истечении газа в вакуум скорость струи v_вак можно оценить, полагая в формуле (10) T=0. Такая оценка разумна, ибо при расширении в вакуум давление газа в струе падает до нуля и, следовательно, должна приближаться к нулю и его температура:

v

_вак

2

C

_p

T

1/2

.

(11)

Отметим, что кинетическая энергия направленного движения газа в струе возникает за счёт внутренней энергии, т.е. энергии хаотического теплового движения молекул газа в баллоне. Скорость истечения определяется температурой и не зависит от давления. Независимость скорости истечения от давления связана с тем, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.

Формуле (11) можно придать более удобный вид, если выразить C_p через =C_p/C_V и газовую постоянную R:

C

_p

=

C_p

C_V

C

_V

=

(C

_p

-R)

,