Физика в примерах и задачах

Теперь подумаем, как практически можно осуществить устройство, в котором давление газа пропорционально занимаемому объёму. Это, например, может быть сосуд с поршнем. Поставим его вертикально. Для того чтобы нагревание газа происходило при постоянном объёме, поршень нужно закрепить. Для нагревания при постоянном давлении можно положить на поршень постоянный груз. В интересующем пас случае можно попытаться подпереть поршень упругой пружиной (рис. 10.1), поскольку вследствие закона Гука действующая на поршень со стороны пружины сила будет линейно зависеть от его смещения.

Рис. 10.2. К выбору параметров устройства, в котором p=V

Как подобрать параметры этого устройства, чтобы выполнялось соотношение p=V? При V=0, когда поршень лежит на дне (рис. 10.2), давление газа под поршнем должно быть равно нулю, поэтому сила тяжести mg, действующая на поршень, и сила атмосферного давления pS (S - площадь поршня) должны уравновешиваться силой растяжения пружины:

mg

+

pS

=

k(l-l)

.

(8)

Здесь k - жёсткость пружины, l - её длина в свободном состоянии. Итак, нужно подобрать такую пружину, чтобы соотношение (8) выполнялось. Проверим, будет ли при этом давление газа p пропорционально его объёму V при произвольном положении поршня (рис. 10.1). Напишем условие равновесия поршня:

mg

+

pS

=

k(l-l-x)

+

pS

.

Отсюда с учётом равенства (8) получаем

p

=

kx

S

=

k

S^2

V

.

Попробуйте придумать другие устройства!

11. Установление равновесия.

В расположенном горизонтально цилиндре (рис. 11.1) слева от закреплённого поршня находится идеальный газ, в правой части цилиндра - вакуум. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой, находится первоначально в недеформированном состоянии. Поршень освобождают, и после установления равновесия объём, занимаемый газом, увеличивается вдвое. Как изменились при этом температура и давление газа? Теплоёмкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь.

Рис. 11.1. Сосуд с газом теплоизолирован от окружающей среды

По условию задачи вначале пружина находится в недеформироваином состоянии и сила давления газа на поршень уравновешивается упором, удерживающим поршень. Когда упор убирают, поршень под действием давления газа перемещается вправо и сжимает пружину. По инерции поршень проскакивает положение равновесия, и сжатая пружина после остановки толкает его обратно. В системе возникают колебания, которые вследствие трения постепенно затухают, и поршень останавливается в положении равновесия. В начальном состояния вся энергия рассматриваемой системы состояла только из внутренней энергии газа, ибо поршень был неподвижен, а пружина не деформирована. В конечном состоянии энергия системы складывается из внутренней энергии газа и потенциальной энергии сжатой пружины. В процессе установления равновесия происходили многократные превращения энергии из одного вида в другие: внутренняя энергия газа частично превращалась в кинетическую энергию макроскопического движения газа в цилиндре вслед за поршнем, в кинетическую энергию поршня, потенциальную энергию деформированной пружины и обратно.

В процессе колебаний вследствие трения механическая энергия превращалась в теплоту, т.е. во внутреннюю энергию газа. Изменением внутренней энергии поршня, стенок сосуда и пружины можно пренебречь, так как по условию задачи их теплоёмкость мала по сравнению с теплоёмкостью газа. На основании первого закона термодинамики можно утверждать, что полная энергия системы в результате всех этих процессов не изменилась, так как теплообмен с окружающей средой отсутствовал и система не совершала механической работы над внешними телами.

Сохранение полной энергии системы выражается соотношением

U

+

kx^2

2

=

0,

(1)

где второе слагаемое есть потенциальная энергия пружины жёсткости k, сжатой на величину x, а изменение внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры от T до T равно

U

=

C

_V

(T-T)

,

(2)

где =m/ - количество газа в цилиндре, C_V - молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме.

В положении равновесия сила давления газа на поршень площади S уравновешивается силой реакции сжатой пружины:

pS

=

kx

.

(3)

Смещение поршня x очевидным образом связано с изменением объёма газа от V до V:

x

=

V-V

S

.

(4)

Подставив в уравнение баланса энергии (1) выражения (2) и (4), получим

C

_V

(T-T)

=

k(V-V)^2

2S^2

.

(5)

Используя уравнение состояния идеального газа

pV

=

RT

,

(6)

выразим давление газа p в условии механического равновесия поршня (3) через конечные значения температуры и объёма, а смещение поршня x - с помощью формулы (4):

RT

V

=

k(V-V)

S^2

.

(7)

Разделив почленно выражения (5) и (7), получим

2C_V

R

T

T

-

1

=

1

-

V

V

.

(8)

При заданном отношении начального и конечного объёмов газа формула (8) даёт возможность определить отношение температур:

T

T

=

1

+

R

2C_V

1

-

V

V

(9)

Зная отношение объёмов и температур, можно с помощью уравнения состояния (6) найти отношение давлений:

p

p

=

R

2C_V

V

V

-

1

+

V

V

.

(10)

Поскольку для идеального одноатомного газа C_V=3R/2, а по условию задачи конечный объём вдвое больше начального, то с помощью формул (9) и (10) находим

T

T

=

6

7

,

p

p