Физика в примерах и задачах

Величина =d^2 (d - диаметр молекулы) от давления не зависит. Поэтому не зависит от давления и произведение d, хотя концентрация молекул d пропорциональна давлению.

Таким образом, при обычных условиях теплопроводность газа не зависит от давления, ибо все остальные величины, входящие в выражение для потока теплоты (разность температур, площадь стенок и расстояние между ними), также не зависят от давления.

Так зачем же в сосудах Дьюара откачивают воздух из пространства между стенками? Всё дело в том, что при очень низком давлении газа, когда длина свободного пробега молекул оказывается больше расстояния между стенками, механизм теплопроводности становится другим: молекулы газа свободно пролетают от одной стенки до другой, не сталкиваясь друг с другом, и переносят «избыток» энергии непосредственно от стенки к стенке. Теперь теплопроводность не зависит от длины свободного пробега молекул - важно лишь, чтобы она превышала расстояние l между двойными стенками сосуда. Так как поток теплоты, разумеется, и в этом случае пропорционален концентрации молекул, то чем ниже давление оставшегося между стенками воздуха, тем меньше будет его теплопроводность.

Для того чтобы оценить поток теплоты от наружной стенки сосуда Дьюара к холодной внутренней стенке, будем считать, что каждая молекула воздуха, покидая стенку сосуда, имеет энергию, соответствующую температуре этой стенки. Сталкиваясь с другой стенкой, молекула целиком передаёт ей свою энергию. Другими словами, мы считаем, что взаимодействие молекул со стенкой носит характер неупругого удара. Если бы удар молекул о стенку был абсолютно упругим, то молекулы газа вообще не переносили бы тепла.

Будем считать, что наружная стенка сосуда имеет температуру T, равную температуре окружающей среды. Находящийся в сосуде Дьюара сжиженный газ всё время понемногу выкипает, поэтому, несмотря на непрерывный подвод теплоты, его температура остаётся неизменной. Горлышко сосуда Дьюара держится открытым, чтобы испарившийся газ мог свободно выходить в атмосферу - в противном случае сосуд непременно взорвётся вследствие непрерывного роста давления. Таким образом, температура внутренней стенки равна температуре кипения T сжиженного газа при атмосферном давлении.

Поток энергии, переносимый молекулами воздуха от горячей стенки к холодной, пропорционален энергии улетающей молекулы (т.е. температуре горячей стенки T) и числу молекул z покидающих горячую стенку за единицу времени. Сколько же молекул покидают горячую стенку? Очевидно, столько же, сколько прилетает к ней от холодной стенки. Число таких молекул пропорционально концентрации молекул, имеющих температуру холодной стенки T, и их средней скорости v:

z

~

n

v

.

(2)

Поэтому поток энергии от горячей стенки к холодной пропорционален произведению Tz~Tnv. Аналогично, поток энергии, переносимый молекулами от холодной стенки к горячей, пропорционален произведению Tz~Tnv. Следовательно, поток теплоты Q от горячей стенки к холодной, равный разности встречных потоков энергии, пропорционален разности температур, концентрации и средней скорости молекул:

Q

~

(T-T)

nv

.

(3)

Какова же концентрация n «холодных» молекул воздуха в пространстве между стенками? Если обозначить через n концентрацию «горячих» молекул, т.е. тех, которые покинули наружную стенку, то сумма n+n равна полной концентрации воздуха n между стенками:

n

=

n

+

n

.

(3)

Как уже отмечалось, к горячей стенке прилетает в единицу времени столько же молекул, сколько и к холодной. Поэтому

nv

=

nv

.

(5)

Так как средняя скорость пропорциональна корню из термодинамической температуры, то из равенства (5) имеем

n

=

n

v/v

=

n

T/T

.

(6)

Подставляя n в соотношение (4), находим

n

=

n

1+T/T

.

(7)

Теперь выражение (3) для потока теплоты можно переписать в виде

Q

~

(T-T)

nT

1+T/T

=

n

TT

(

T

-

T

)

.

(8)

За счёт этого потока теплоты за единицу времени испаряется масса сжиженного газа M, равная отношению Q к удельной теплоте парообразования :

M

~

n

TT

(

T

-

T

)

.

(9)

Точно такое же выражение будет справедливо и в том случае, когда сосуд Дьюара заполнен другим сжиженным газом, у которого температура кипения равна T, а удельная теплота парообразования равна . Все опущенные в формуле (9) коэффициенты пропорциональности не зависят от того, какой именно газ находится в сосуде. Поэтому для отношения масс разных газов, испаряющихся за единицу времени из одного и того же сосуда Дьюара, получим

M

M

=

T

T

1/2

T-T

T-T

.

(10)

Подставляя сюда значения удельной теплоты парообразования водорода =4,5·10 Дж/кг, азота =2,0·10 Дж/кг и их температуры кипения T=20,4 К, T=20,4 К, найдём M/M0,34.

Получилось, что по массе водород выкипает из сосуда Дьюара медленнее азота, хотя температура кипения водорода ниже. Однако со скоростью выкипания по объёму всё обстоит иначе. Плотность жидкого водорода равна примерно 0,07 г/см^3, азота 0,8 г/см^3, поэтому для отношения объёмов испарившихся водорода V и азота V получаем V/V=3,89, т.е. водород выкипает приблизительно в 4 раза быстрее азота.