Физика в примерах и задачах

Число молекул, проходящих за единицу времени через каждое отверстие в пористой перегородке, пропорционально концентрации молекул перед перегородкой и средней скорости их хаотического теплового движения. Так как газ представляет собой смесь молекул, содержащих разные изотопы, можно, как и в предыдущей задаче, написать выражение для чисел N и N прошедших через перегородку за единицу времени молекул:

N

~

nv

,

N

~

nv

,

(1)

где n и n - концентрации лёгкого и тяжёлого изотопов перед перегородкой, а v и v - средние скорости их теплового движения. Отношение концентраций молекул газа каждого изотопа после прохождения через одну ячейку равно

=

N

N

=

nv

nv

.

(2)

Если бы средние скорости теплового движения молекул, содержащих разные изотопы, были одинаковы, то, как видно из формулы (2), отношение концентраций лёгкого и тяжёлого изотопов было бы таким же, как и до перегородки. Однако из-за различия масс разных изотопов тепловые скорости молекул с лёгкими и тяжёлыми изотопами оказываются разными, хотя средние кинетические энергии тех и других молекул одинаковы и соответствуют температуре смеси. Так как средняя скорость теплового движения пропорциональна корню из отношения термодинамической температуры к массе молекулы:

v

~

T/n

,

(3)

то у молекул лёгкого изотопа эта скорость больше, и после прохождения через перегородку содержание лёгкого изотопа в смеси увеличивается. Из соотношения (2) при учёте (3) следует, что

=

n

n

m

m

1/2

=

n

n

1/2

.

(4)

На входе во вторую ячейку отношение концентраций лёгкого и тяжёлого изотопов в смеси равно уже не n/n а

=

n

n

1/2

.

Поэтому после прохождения второй ячейки отношение концентраций будет равно

=

1/2

=

n

n

1/2

^2

.

(5)

Легко видеть, что после прохождения k ячеек отношение концентраций _k выражается формулой

_k

=

n

n

1/2

k

.

(6)

Если мы хотим, чтобы _k было больше, чем n/n, в 10 раз, то, как видно из (6), необходимое число ячеек

k

=

1

lg/

=

2

lg(/)

.

(7)

Из-за малого различия в массах молекул с разными изотопами приходится проводить большое число циклов обогащения. Так, например, для шестифтористого урана со смесью изотопов ^2^3U и ^2^3U для увеличения отношения концентраций в 10 раз требуется соединить последовательно около 540 ячеек.

В заключение отметим, что в каждой ячейке по мере прохождения газа через пористую перегородку содержание тяжёлого изотопа в смеси, находящейся перед перегородкой, должно было бы увеличиваться. А это, в свою очередь, приводило бы к тому, что увеличивалось бы число проходящих через перегородку молекул с тяжёлым изотопом. В результате эффективность работы ячейки снижалась бы. Чтобы этого не происходило, нужно обновлять смесь перед перегородкой, не допуская накапливания газа, обогащённого тяжёлым изотопом. Поэтому обогащённый тяжёлым изотопом газ откачивается и направляется на вход предыдущей ступени каскада (рис. 8.1).

Описанный способ применяется для разделения изотопов урана в крупных промышленных масштабах. Идея этого метода была предложена Рэлеем ещё в 1896 г.

9. Сосуд Дьюара.

Сжиженные газы хранят в сосудах Дьюара, которые представляют собой стеклянные или металлические колбы с двойными стенками (рис. 9.1). Из пространства между стенками откачан воздух, что приводит к уменьшению их теплопроводности. Так как весь воздух выкачать невозможно, то оставшиеся молекулы будут переносить теплоту от окружающей среды к содержимому сосуда Дьюара. Эта остаточная теплопроводность стенок приводит к тому, что находящийся в сосуде сжиженный газ непрерывно испаряется. При заполнении сосуда Дьюара жидким азотом, температура кипения которого при нормальном атмосферном давлении равна 77,3 К, оказалось, что за единицу времени испарилась масса M азота. Какая масса газа испарится из этого же сосуда за единицу времени, если его заполнить жидким водородом, температура кипения которого равна 20,4 К? Температура окружающей среды в обоих случаях равна 300 К.

Рис. 9.1. Устройство сосуда Дьюара

Перенос теплоты происходит при таких отклонениях от состояния термодинамического равновесия, когда различные части системы имеют разную температуру. При обычных условиях механизм теплопроводности газа заключается в следующем: молекулы из более «горячей» области в результате хаотического движения перемещаются по всем направлениям и, сталкиваясь с молекулами из более «холодных» областей, передают им часть своей энергии. Каждая молекула может перенести «избыток» тепловой энергии на расстояние порядка средней длины свободного пробега Поэтому полный поток теплоты от участка с более высокой температурой к участку с более низкой температурой пропорционален концентрации молекул n и их средней длине свободного пробега.

Каждая из величин n и зависит от давления, при котором находится газ. Но их произведение не зависит от давления. В самом деле, вспомните задачу 6 о торможении спутника в верхних слоях атмосферы, где обсуждалось, от чего зависит средняя длина свободного пробега молекул. Там было получено соотношение

n

1.

(1)