Физика в примерах и задачах

Как нужно рассматривать торможение спутника в атмосфере? Следует ли считать, что движение спутника происходит в сплошной среде, или же взаимодействие спутника с атмосферой нужно описывать как результат большого числа отдельных ударов молекул воздуха?

При движении твёрдого тела в сплошной среде вблизи поверхности тела образуется так называемый пограничный слой, в котором некоторые свойства среды, такие, как, например, скорости движения частиц среды, отличаются от свойств вдали от тела, где среда остаётся невозмущённой. Тело при своём движении увлекает частицы среды, находящиеся в пределах пограничного слоя. Размеры такого пограничного слоя сравнимы с размерами самого тела. Когда справедливо такое представление?

Молекулы среды в своём хаотическом тепловом движении всё время сталкиваются друг с другом. Если среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, значительно меньше размеров тела, то можно использовать представление о сплошной среде и говорить об образовании пограничного слоя вблизи движущегося тела.

Если же средняя длина свободного пробега молекул среды превосходит размеры тела, то никакого пограничного слоя не образуется: каждая столкнувшаяся с телом молекула успевает до следующего столкновения с другими молекулами настолько далеко удалиться от тела, что уже больше не испытывает с его стороны никакого влияния. Другими словами, движущееся тело сталкивается с молекулами, которые до этого столкновения ещё ничего «не знали» об этом теле, т.е. совершали такое движение, которое характерно для равновесного состояния среды в отсутствие движущегося тела. В этом случае торможение тела в среде есть результат ударов отдельных молекул.

Итак, выбор того или иного представления о физическом механизме торможения спутника в атмосфере определяется соотношением между его размерами и средней длиной свободного пробега молекул воздуха. Оценим среднюю длину свободного пробега. Для простоты будем считать молекулы воздуха шариками с диаметром d. Возьмём произвольную молекулу A и будем считать, что она движется в направлении, указанном стрелкой на рис. 6.1, а все остальные молекулы воздуха неподвижны. Из этого рисунка видно, что рассматриваемая молекула A столкнётся с другой молекулой B только в том случае, когда центр другой молекулы B окажется внутри цилиндра, радиус которого равен диаметру молекулы d.

Рис. 6.1. К оценке средней длины свободного пробега молекул

Возьмём длину этого цилиндра равной средней длине свободного пробега X. Тогда, очевидно, в объёме такого цилиндра в среднем находится только одна молекула воздуха. Поэтому

nd^2

1

,

(1)

где n - концентрация, т.е. среднее число молекул в единице объёма. Обратим внимание, что средняя длина свободного пробега X не зависит от скорости молекул, т.е. от температуры, а определяется только размерами молекул и их концентрацией.

Найдём длину свободного пробега молекул воздуха на высоте 200 км, где плотность атмосферы =3·10^-9 кг/м^3. Считаем среднюю молярную массу воздуха =0,029 кг/моль, а диаметр молекулы d3·10^-10 м. Плотность равна произведению концентрации n на массу одной молекулы m, которая связана с молярной массой , и постоянной Авогадро N_A соотношением m=/N_A. Поэтому с помощью (1) получаем

1

d^2n

=

d^2N_A

60 м.

(2)

Длина свободного пробега молекулы воздуха оказалась в таких условиях порядка 100 м. Это во много раз превосходит размеры спутника, поэтому рассчитывать торможение в такой разрежённой атмосфере следует, рассматривая отдельные удары молекул.

Результат огромного числа ударов хаотически движущихся молекул воздуха о поверхность движущегося тела, которые приводят к его торможению, может быть описан путём введения непрерывно действующей на это тело силы трения. Зависимость этой силы от скорости тела будет различной при разных соотношениях между скоростью тела V и средней скоростью хаотического движения молекул воздуха v.

При медленном движении тела через неподвижный воздух, когда V, при нахождении этой силы можно рассуждать так же, как и при подсчёте давления молекул газа на стенку сосуда. При этом следует учитывать, что молекулы, движущиеся навстречу телу, сталкиваются с ним чаще и при каждом ударе в среднем передают ему больший импульс, чем молекулы, которые догоняют тело. В результате давление воздуха на переднюю стенку тела оказывается больше, чем на заднюю. Аккуратный анализ с учётом распределения молекул по скоростям показывает, что сила трения в этом случае пропорциональна первой степени скорости тела. Если же скорость тела V значительно больше средней скорости теплового движения молекул воздуха, то зависимость силы трения от скорости тела будет совсем иной.

Рис. 6.2. Распределение молекул по проекции скорости их теплового движения на направление скорости тела